Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

2.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen 55
Definition 2.14 (Unabhängigkeit von Zufallsvariablen). Die Familie (Xi)i∈I
von Zufallsvariablen heißt unabhängig, falls die Familie (σ(Xi))i∈I von σ-
Algebren unabhängig ist.
Wir schreiben, dass (Xi)i∈I ” u.i.v.“ ist, für ” unabhängig und identisch verteilt“
(englisch: i.i.d.“ für independent and identically distributed“), falls (Xi)i∈I un-
” ”
abhängig ist und PXi = PXj für alle i, j ∈ I gilt.
Bemerkung 2.15. (i) Ist ( Ãi)i∈I eine unabhängige Familie von σ-Algebren und
ist jedes Xi messbar bezüglich Ãi – Ai, soist(Xi)i∈I unabhängig. Dies ist
klar, weil σ(Xi) ⊂ Ãi, also die Bedingung an die Unabhängigkeit von (Xi)i∈I
schwächer ist als die Bedingung an die Unabhängigkeit von ( Ãi)i∈I.
(ii) Für jedes i ∈ I sei (Ω ′ i , A′ i ) ein weiterer Messraum, sowie fi :(Ωi, Ai) →
(Ω ′ i , A′ i ) eine messbare Abbildung. Ist (Xi)i∈I unabhängig, so ist (fi ◦ Xi)i∈I un-
abhängig. Diese Aussage ist ein Spezialfall von (i), weil fi◦Xi messbar ist bezüglich
σ(Xi) – A ′ i (siehe Satz 1.80). ✸
Satz 2.16 (Unabhängigkeit von Erzeugern). Für jedes i ∈ I sei Ei ⊂Ai ein
schnittstabiler Erzeuger von Ai.Ist(X −1
i (Ei))i∈I unabhängig, so ist (Xi)i∈I unabhängig.
Beweis. Nach Satz 1.81(iii) ist X −1
i (Ei) ist ein schnittstabiler Erzeuger der σ-
Algebra X −1
i (Ai) =σ(Xi). Mit Satz 2.13 folgt die Aussage. ✷
Beispiel 2.17. Sei E eine höchstens abzählbare Menge, und seien (Xi)i∈I Zufallsvariablen
mit Werten in (E,2E ). In diesem Falle ist (Xi)i∈I genau dann unabhängig,
wenn für jede endliche Teilmenge J ⊂ I und jede Wahl von xj ∈ E,
j ∈ J, gilt, dass
P � Xj = xj für jedes j ∈ J � = �
P[Xj = xj].
Dies ist klar, weil � {x} : x ∈ E � ∪ {∅} ein schnittstabiler Erzeuger von 2E ist,
also � X −1
i ({xi}) : xi ∈ E � ∪ {∅} ein schnittstabiler Erzeuger von σ(Xi) ist
(Satz 1.81). ✸
Beispiel 2.18. Sei E eine endliche Menge und p =(pe)e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor.
Wir wollen das zu E und p gehörige Zufallsexperiment unendlich oft
unabhängig wiederholen (siehe Beispiel 1.40 und Satz 1.64). Sei Ω = EN der unendliche
Produktraum und A die von den endlichen Zylindermengen (siehe (1.8))
erzeugte σ-Algebra, sowie P = ��
e∈E peδe
�⊗N das Bernoulli-Maß. Ferner sei für
jedes n ∈ N
j∈J