Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

5.2 Schwaches Gesetz der Großen Zahl 105
Definition 5.12. Sei (Xn)n∈N eine Folge reeller Zufallsvariablen in L 1 (P) und
�Sn = � n
i=1 (Xi − E[Xi]).
(i) Wir sagen, (Xn)n∈N genüge dem schwachen Gesetz der großen Zahl, falls
lim
n→∞ P
��
��� 1
n � �
�
Sn�
� >ε
�
=0 für jedes ε>0.
(ii) Wir sagen, (Xn)n∈N genüge dem starken Gesetz der großen Zahl, falls
� �
�
P lim sup �
1
�
n→∞ n � �
�
Sn�
� =0
�
=1.
Bemerkung 5.13. Das starke Gesetz der großen Zahl impliziert das schwache. Ist
nämlich Aε ��� 1
n := n � � � � �
Sn�
>ε und A = lim sup � 1
n
n→∞
� � �
Sn�
> 0 , so gilt offenbar
A = �
lim sup A
n→∞
m∈N
1/m
n ,
�
also P lim sup A
n→∞
ε �
n =0für ε>0. Nach dem Lemma von Fatou (Satz 4.21) ist
�
lim sup P [A
n→∞
ε n]=1− lim inf
n→∞ E � (Aε n )c
�
≤ 1 − E lim inf
n→∞
(Aε n )c
�
�
= E lim sup
n→∞
Aε n
�
= 0. ✷
Satz 5.14. Seien X1,X2,... unkorrelierte Zufallsvariablen in L2 (P) mit V :=
supn∈N Var[Xn] < ∞. Dann genügt (Xn)n∈N dem schwachen Gesetz der großen
Zahl. Es gilt sogar für jedes ε>0
��
��� 1
P
n � � �
�
Sn�
� ≥ ε
≤ V
ε 2 n
für jedes n ∈ N. (5.5)
Beweis. Ohne Einschränkung sei E[Xi] = 0 für jedes i ∈ N und damit Sn =
X1 + ···+ Xn. Nach der Formel von Bienaymé (Satz 5.7) ist
Var
� 1
n � Sn
�
= n −2
n�
i=1
Var [Xi] ≤ V
n .
Nach der Chebyshev’schen Ungleichung (Satz 5.11) gilt für ε>0
P � | � Sn/n| >ε � ≤ V
ε 2 n
n→∞
−→ 0. ✷