Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

3
2
1
0
26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösungen via Dualität 571
1 2 3 4 5
Abb. 26.4. Simulation einer Feller’schen Verzweigungsdiffusion mit Parameter γ =1.
Daher hat Z N die quadratische Variation
Sei nun
〈Z N n−1 �
〉n =
k=0
2Z N k .
Z N t := � t − N −1 � �
⌊tN⌋ Z N ⌊tN⌋+1 − ZN �
⌊tN⌋ + 1
n ZN ⌊tN⌋
eine linear interpolierte Version von N −1Z N ⌊tN⌋ . Nach dem Satz von Lindvall
N N→∞
(Satz 21.51) gibt es einen stetigen Markovprozess Z, sodass Z −→ Z in Verteilung
gilt. Da man zeigen kann, dass auch die Momente konvergieren, gilt, dass Z
ein stetiges Martingal ist und quadratische Variation
〈Z〉t =
� t
0
2Zs ds
hat. Tatsächlich hatten wir in Beispiel 26.11 bereits gezeigt, dass Z die Lösung der
SDGL
dZt = � 2Zt dWt
(26.30)
mit Start in Z0 =1ist. Dort hatten wir auch gezeigt, dass Z dual ist zu Y y
t =
� tγ
2
�−1 1 + y
mit H(x, y) =e−xy . Hieraus folgt die Eindeutigkeit der Lösung von
(26.30) und die starke Markoveigenschaft von Z. ✸
Man kann einwenden, dass in den Beispielen 26.29 und 26.31 nur eindimensionale
Situationen betrachtet wurden, für die wir nach dem Satz von Yamada-
Watanabe (Satz 26.10) sowieso schon um die Eindeutigkeit sogar einer starken