Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

11 Martingalkonvergenzsätze und Anwendungen
Wir haben Martingale X =(Xn)n∈N0 als faire Spiele kennen gelernt und festgestellt,
dass sie unter gewissen Transformationen (Optionales Stoppen, diskretes stochastisches
Integral) wieder zu Martingalen werden. In diesem Kapitel werden wir
sehen, dass unter schwachen Bedingungen (Nichtnegativität oder gleichgradige Integrierbarkeit)
Martingale fast sicher konvergieren. Zudem impliziert die Martingalstruktur
die Lp-Konvergenz schon unter formal schwächeren Annahmen als denen,
die wir in Kapitel 7 gesehen haben. Die grundlegenden Ideen dieses Kapitels liegen
in der Doob’schen Ungleichung (Satz 11.2) und in der Aufkreuzungsungleichung
(Lemma 11.3).
11.1 Die Doob’sche Ungleichung
Wir haben mit der Kolmogorov’schen Ungleichung (Satz 5.28) eine Ungleichung
kennen gelernt, die analog zur Chebyshev’schen Ungleichung die Wahrscheinlichkeit
für große Werte des Maximums eines quadratisch integrierbaren Prozesses mit
unabhängigen, zentrierten Zuwächsen nach oben abschätzt. An dieser Stelle wollen
wir die Ungleichung in mehrere Richtungen verbessern. Einerseits wollen wir
Martingale betrachten. Andererseits wollen wir mit weniger als zweiten Momenten
auskommen, beziehungsweise bei Anwesenheit höherer Momente die Ungleichung
verschärfen.
Sei I ⊂ N0 und X =(Xn)n∈I ein stochastischer Prozess. Wir schreiben für n ∈ N
X ∗ n =sup{Xk : k ≤ n} und |X| ∗ n =sup{|Xk| : k ≤ n}.
Lemma 11.1. Ist X ein Submartingal, dann gilt für jedes λ>0
λ P � X ∗ n ≥ λ � ≤ E � Xn {X∗ n≥λ} � � �
≤ E |Xn| {X∗ n≥λ} .
Beweis. Die zweite Ungleichung ist trivial. Für die erste betrachte
τ := inf � k ∈ I : Xk ≥ λ � ∧ n.
Nach Satz 10.11 (Optional Sampling Theorem) ist