Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

3.3 Verzweigungsprozesse 81
Wir nehmen jetzt an, dass p0,p1,p2,... ∈ [0, 1] sind mit � ∞
k=0 pk = 1.Sei
(Xn,i)n,i∈N0 eine unabhängige Familie von Zufallsvariablen mit P[Xn,i = k] =pk
für jedes k ∈ N0 und jedes i ∈ N.
Setze Z0 =1und
Zn =
Zn−1 �
i=1
Xn−1,i für n ∈ N.
Wir geben die folgende Interpretation an: Zn ist die Anzahl von Individuen in der
n-ten Generation einer sich zufällig entwickelnden Population. Das i-te Individuum
aus der n-ten Generation hat Xn,i Nachkommen (in der (n +1)-ten Generation).
Definition 3.9. (Zn)n∈N0 heißt Galton-Watson-Prozess oder Verzweigungsprozess
mit Nachkommenverteilung (pk)k∈N0 .
Ein wichtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Verzweigungsprozessen sind
Erzeugendenfunktionen. Sei also
ψ(z) =
∞�
k=0
pk z k
die Erzeugendenfunktion der Nachkommenverteilung und ψ ′ deren Ableitung. Wir
definieren die n-te Iterierte von ψ durch
ψ1 := ψ, ψn := ψ ◦ ψn−1 für n =2, 3,...
Sei schließlich ψZn die Erzeugendenfunktion von Zn.
Lemma 3.10. Es gilt ψn = ψZn
für jedes n ∈ N.
Beweis. Für n =1ist dies per Definition richtig. Für n ∈ N folgt mit Satz 3.8
induktiv ψZn+1 = ψ ◦ ψZn = ψ ◦ ψn = ψn+1. ✷
Offenbar ist die Wahrscheinlichkeit qn := P[Zn =0],dassZ zur Zeit n schon
ausgestorben ist, wachsend in n. Wir bezeichnen mit
q := lim
n→∞ P[Zn =0]
die Aussterbewahrscheinlichkeit.
Unter welchen Bedingungen ist q =0, q =1, oder q ∈ (0, 1)? Offenbar ist q ≥ p0.
Ist andererseits p0 =0,soistZn wachsend in n, also q =0.