Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

40 1 Grundlagen der Maßtheorie
(ii) Seien fn wie oben, Bn,i := {ω : fn(ω)−fn−1(ω) =i 2 −n } und βn,i = i 2 −n
für n ∈ N und i =1,...,2n .Manüberlege sich, dass �2 n
i=1 Bn,i = Ω. Dannist
fn − fn−1 = 2n �
βn,i Bn,i . Nach Umnummerierung (n, i) ↦→ m erhalten wir
i=1
(αm)m∈N und (Am)m∈N, sodass
f = f0 +
∞�
(fn − fn−1) =
n=1
∞�
m=1
αm Am . ✷
Als Korollar zu dieser Strukturaussage für messbare [0, ∞]-wertige Abbildungen
zeigen wir das Faktorisierungslemma.
Korollar 1.97 (Faktorisierungslemma). Seien (Ω ′ , A ′ ) ein Messraum und Ω eine
nichtleere Menge. Sei f : Ω → Ω ′ eine Abbildung. Eine Abbildung g : Ω → R
ist genau dann messbar bezüglich σ(f) – B(R), wenn es eine messbare Abbildung
ϕ :(Ω ′ , A ′ ) → (R, B(R)) gibt mit g = ϕ ◦ f.
Beweis. ” ⇐= “ Ist ϕ messbar und g = ϕ ◦ f, soistg messbar nach Satz 1.80.
” =⇒ “ Sei nun g messbar bezüglich σ(f) – B(R). Wir betrachten zunächst den
Fall, wo g nichtnegativ ist. Dann existieren messbare Mengen A1,A2 ... ∈ σ(f)
sowie Zahlen α1,α2,...,∈ [0, ∞) mit g = �∞ n=1 αn An .NachderDefinition
von σ(f) gibt es für jedes n ∈ N eine Menge Bn ∈A ′ mit f −1 (Bn) =An, also
mit An = Bn ◦ f.Wirdefinieren nun ϕ : Ω′ → R durch
ϕ =
∞�
αn Bn
n=1
.
Offenbar ist ϕ messbar bezüglich A ′ – B(R), und es gilt g = ϕ ◦ f.
Sei nun der allgemeine Fall betrachtet, wo g auch negative Werte annehmen kann.
Dann existieren messbare Abbildungen ϕ − und ϕ + mit g − = ϕ − ◦ f und g + =
ϕ + ◦ f. Daher leistet ϕ := ϕ + − ϕ − das Gewünschte. ✷
Mit einer messbaren Abbildung wird auch ein Maß von einem Raum auf einen anderen
transportiert.
Definition 1.98 (Bildmaß). Seien (Ω,A) und (Ω ′ , A ′ ) Messräume und μ ein Maß
auf (Ω,A). Ferner sei X :(Ω,A) → (Ω ′ , A ′ ) messbar. Das durch
μ ◦ X −1 : A ′ → [0, ∞], A ′ ↦→ μ(X −1 (A ′ ))
definierte Maß auf (Ω ′ , A ′ ) heißt Bildmaß von μ unter X.