Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

36 1 Grundlagen der Maßtheorie
Wir erinnern an den Begriff der Spur eines Mengensystems aus Definition 1.25.
Korollar 1.83 (Spur der erzeugten σ-Algebra). Ist E⊂2Ω und A ⊂ Ω nichtleer,
so gilt σ � E � � �
� = σ(E) �A
A
Beweis. Sei X : A↩→ Ω, ω ↦→ ω die Inklusionsabbildung. Dann ist X−1 (B) =
A ∩ B für jedes B ∈ Ω. Nach Satz 1.81 ist
σ � E � �
� = σ({E ∩ A : E ∈E})
A
= σ({X −1 (E) : E ∈E})=σ(X −1 (E))
= X −1 (σ(E)) = {A ∩ B : B ∈ σ(E)} = σ(E) � � A . ✷
Zur Erinnerung: Für eine Teilmenge A ⊂ Ω eines topologischen Raums (Ω,τ) ist
τ � � die Topologie der in A relativ offenen Mengen. Mit B(Ω,τ) =σ(τ) bezeichnen
A
wir die Borel’sche σ-Algebra auf (Ω,τ).
Korollar 1.84 (Spur der Borel’schen σ-Algebra). Sei (Ω,τ) ein topologischer
Raum und A ⊂ Ω eine beliebige Teilmenge von Ω. Dann gilt
B(Ω,τ) � � = B
A
� A, τ � �
� .
A
Beispiel 1.85. (i) Ist Ω ′ abzählbar, so ist X : Ω → Ω ′ genau dann A – 2Ω′ -
messbar, wenn X−1 ({ω ′ }) ∈Afür jedes ω ′ ∈ Ω ′ .Für überabzählbare Ω ′ ist dies
im Allgemeinen falsch. (Man betrachte etwa Ω = Ω ′ = R, A = B(R), X(ω) =ω
für jedes ω ∈ Ω. Offenbar ist X−1 (ω) ={ω} ∈B(R). Ist andererseits A ⊂ R
nicht in B(R), soistA∈ 2R , jedoch X−1 (A) �∈ B(R).)
(ii) Für x ∈ R verabreden wir folgende Schreibweisen für das Ab- und Aufrunden
⌊x⌋ := max{k ∈ Z : k ≤ x} und ⌈x⌉ :== min{k ∈ Z : k ≥ x}. (1.16)
Die Abbildungen R → Z, x ↦→ ⌊x⌋ und x ↦→ ⌈x⌉ sind messbar bezüglich B(R)
– 2 Z ,dennfür jedes k ∈ Z sind die Urbilder {x ∈ R : ⌊x⌋ = k} =[k, k +1)
und {x ∈ R : ⌈x⌉ = k} = (k − 1,k] in B(R). Nach dem Verknüpfungssatz
(Satz 1.80) sind dann für jede messbare Abbildung f :(Ω,A) → (R, B(R)) auch
die Abbildungen ⌊f⌋ und ⌈f⌉ messbar bezüglich A – 2 Z .
(iii) Eine Abbildung X : Ω → R d ist genau dann A – B(R d )-messbar, wenn
X −1 ((−∞,a]) ∈A für jedes a ∈ R d ,
denn σ((−∞,a], a∈ R d )=B(R d ) nach Satz 1.23. Analog gilt dies auch für die
anderen Mengensysteme E1,...,E12 aus Satz 1.23. ✸