Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

4.1 Konstruktion und einfache Eigenschaften 85
Lemma 4.6. Seien f,g,f1,f2,...messbare Abbildungen Ω → [0, ∞]. Dann gilt
(i) (Monotonie) Ist f ≤ g, dann ist � fdμ≤ � gdμ.
(ii) (Monotone Konvergenz) Gilt fn ↑ f, dann konvergieren auch die Integrale
� fn dμ ↑ � fdμ.
(iii) (Linearität) Sind α, β ∈ [0, ∞], so gilt
�
�
(αf + βg) dμ = α
wobei wir die Konvention ∞·0:=0benutzen.
�
fdμ+ β
Beweis. (i) Dies folgt direkt aus der Definition des Integrals.
(ii) Nach (i) gilt
�
lim
n→∞
�
fn dμ =sup
n∈N
gdμ,
�
fn dμ ≤ fdμ.
Wir müssen also nur noch � �
fdμ≤ sup fn dμ zeigen.
n∈N
Sei g ∈ E + mit g ≤ f. Es reicht zu zeigen, dass
� �
sup
n∈N
fn dμ ≥ gdμ. (4.2)
Die Elementarfunktion g habe die Normaldarstellung g = �N i=1 αi Ai , wobei
α1,...,αN ∈ (0, ∞) sind und A1,...,AN ∈Apaarweise disjunkt sind. Für jedes
ε>0 und n ∈ N definieren wir die Menge
B ε n = {fn ≥ (1 − ε) g}.
Wegen fn ↑ f ≥ g gilt Bε n ↑ Ω für jedes ε>0. Also gilt nach (i) für ε>0
� �
�(1
fn dμ ≥ − ε) g Bε �
dμ n
=
N�
(1 − ε) αi μ(Ai ∩ B
i=1
ε n)
n→∞
−→
N�
�
(1 − ε) αi μ(Ai) = (1−ε) gdμ.
i=1
Da ε>0 beliebig war, folgt (4.2) und damit die Aussage (ii).
(iii) Nach Satz 1.96 ist jede nichtnegative messbare Abbildung monotoner Limes
von Elementarfunktionen. Es gibt also Folgen (fn)n∈N und (gn)n∈N in E + mit