Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

17.2 Diskrete Markovketten, Beispiele 343
�
P[Xn = xn
�X0 = x, X1 = x1,...,Xn−1 = xn−1]
= P[Yn−1,1 + ...+ Yn−1,xn−1 = xn]
= P ∗xn−1
({xn}) =q Y1,1 ∗xn−1
xn = p(xn−1,xn).
Also ist X eine Markovkette auf N0 mit Übergangsmatrix p. ✸
Beispiel 17.21 (Wright’sches Evolutionsmodell). In der Biologie beschreibt das
Wright’sche Evolutionsmodell ([159]) die Vererbung eines genetischen Merkmales
mit zwei möglichen Ausprägungen, etwa A und B, (zum Beispiel Resistenz/keine
Resistenz gegen ein bestimmtes Antibiotikum) in einer Population konstanter Größe
N ∈ N mit diskreter Generationenfolge. Die Individuen werden dabei als haploid
angenommen, die Chromosomen liegen also einfach vor (wie etwa bei gewissen
Einzellern) und nicht als Paare (wie etwa bei Säugetieren).
Wir betrachten hier den Fall, wo keines der beiden Merkmale einen Selektionsvorteil
bietet. Es wird also angenommen, dass sich jedes Individuum der neuen Generation
zufällig (gleichverteilt) eines der Individuen der vorangehenden Generation
als Ahn (oder Vorgänger) aussucht und dessen komplettes Erbgut übernimmt. Die
Wahl wird für jedes Individuum unabhängig getroffen, wobei mehrere Individuen
auf den selben Ahn zurückgehen können. Beträgt die Anzahl der Individuen vom
Typ A in der Elterngeneration k ∈{0,...,N}, so ist dieselbe Anzahl in der Kindergeneration
zufällig und binomialverteilt mit Parametern N und k/N.
Wir können die Genfrequenzen (also die relativen Anteile k/N) in diesem Modell
offenbar durch eine Markovkette X auf E = {0, 1/N,...,(N − 1)/N, 1} mit
Übergangsmatrix p(x, y) = bN,x({Ny}) beschreiben. Man beachte, dass X ein
(beschränktes) Martingal ist. Nach dem Martingalkonvergenzsatz konvergiert X also
Px-fast sicher gegen eine Zufallsvariable X∞ mit Ex[X∞] =Ex[X0] =x.
Ähnlich wie beim Wählermodell (siehe Beispiel 11.16), das in der Tat sehr eng verwandt
mit diesem Modell ist, können wir argumentieren, dass X∞ nur die stabilen
Randwerte 0 und 1 annehmen kann. Es gilt also Px[limn→∞ Xn = 1] = x =
1 − Px[limn→∞ Xn =0]. ✸
Beispiel 17.22 (Diskretes Moran-Modell). Wir wollen ein dem Wright’schen Evolutionsmodell
verwandtes Modell mit Überlappung der Generationen betrachten.
Die Situation ist wie beim Wright’schen Modell, jedoch soll jetzt pro Zeitschritt
immer nur genau ein Individuum durch ein neues ersetzt werden, dessen Typ durch
eine zufällige Wahl aus der Elterngeneration bestimmt wird.
Da die Typen des zu ersetzenden und des neuen Individuums unabhängig sind,
erhalten wir als Modell für die Genfrequenzen eine Markovkette X auf E =
{0, 1
N ,...,1} mit Übergangsmatrix
⎧
x(1 − x), falls y = x +1/N,
⎪⎨ x
p(x, y) =
⎪⎩
2 +(1−x) 2 , falls y = x,
x(1 − x), falls y = x − 1/N,
0, sonst.