Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

8.3 Reguläre Version der bedingten Verteilung 181
(siehe Lemma 14.20 für ein formales Argument). Nach Satz 1.96 existieren dann
Mengen A1,A2,...∈Eund Zahlen α1,α2,...≥ 0 mit
gn :=
Für jedes n ∈ N und B ∈Fist nun
E[gn(X) B] =
=
=
n�
i=1
αi Ai
n→∞
−→ f.
n�
αi P[{X ∈ Ai}∩B]
i=1
n�
i=1
n�
i=1
�
=
�
=
αi
αi
B i=1
B
�
�
B
B
P[{X ∈ Ai}|F] P[dω]
κX,F(ω, Ai) P[dω]
n�
αi κX,F(ω, Ai) P[dω]
��
�
gn(x) κX,F(ω, dx) P[dω].
Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz konvergiert für fast jedes ω das
innere Integral gegen � f(x)κX,F(ω, dx). Erneute Anwendung des Satzes von der
monotonen Konvergenz liefert
E[f(X) B] = lim
n→∞ E[gn(X)
� �
B] = f(x) κX,F(ω, dx) P[dω]. ✷
Übung 8.3.1. Sei (E,E) ein Borel’scher Raum und μ ein atomloses Maß (das heißt,
μ({x}) =0für jedes x ∈ E). Man zeige: Für jedes A ∈Eund jedes n ∈ N
existieren paarweise disjunkte Mengen A1,...,An ∈Emit �n k=1 Ak = A und
μ(Ak) =μ(A)/n für jedes k =1,...,n. ♣
Übung 8.3.2. Seien p, q ∈ (1, ∞) mit 1
p
B
+ 1
q = 1, und seien X ∈ Lp (P) und
Y ∈L q (μ). SeiF⊂Aeine σ-Algebra. Man zeige mit Hilfe des vorangehenden
Satzes die bedingte Version der Hölder’schen Ungleichung:
E � |XY | � � F � ≤ E � |X| p � �F � 1/p E � |Y | q � �F � 1/q
fast sicher. ♣
Übung 8.3.3. Sei (X, Y ) uniform verteilt auf B := {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1}
beziehungsweise auf [−1, 1] 2 .
(i) Man bestimme jeweils die bedingte Verteilung von Y gegeben X = x.
(ii) Sei R := √ X 2 + Y 2 und Θ = arctan(Y/X). Man bestimme jeweils die
bedingte Verteilung von Θ gegeben R = r. ♣