Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

274 14 W-Maße auf Produkträumen
Korollar 14.33 (Produktmaß). Für jedes n ∈ N0 sei Pn ein W-Maß auf (Ωn, An).
Dann existiert ein eindeutig bestimmtes W-Maß P auf (Ω,A) mit
�
�
n�
P A0 ×···×An × = Pk(Ak)
∞
× Ωi
i=n+1
für Ai ∈Ai, i =0,...,nund n ∈ N0.
Wir nennen �∞ i=0 Pi := P das Produkt der Maße P0,P1,... Unter P sind die
Koordinatenabbildungen (Xi)i∈N0 unabhängig.
Beweis. Wende den Satz von Ionescu-Tulcea mit κi((ω0,...,ωi−1), · )=Pi an.✷
Wir wollen nun eine dem Satz von Ionescu-Tulcea vergleichbare Aussage treffen,
dabei jedoch auf die Annahme verzichten, dass die Maße Pk auf A k a priori durch
Kerne definiert werden. Bevor wir den Satz formulieren, wollen wir die Konsistenzbedingung
(14.10) verallgemeinern. (Erinnerung: für L ⊂ J ⊂ I bezeichnet
X J L : ΩJ −→ ΩL die Projektion.)
Definition 14.34. Eine Familie (PJ, J⊂ I endlich) von W -Maßen auf (ΩJ, AJ)
heißt projektive Familie, falls für alle endlichen L ⊂ J ⊂ I gilt
Ist P ein W-Maß auf (Ω,A), wobei
Ω =× i∈I
PL = PJ ◦ � X J�−1 L .
k=0
Ωi und A = �
Ai,
,J ⊂ I endlich) projektiv.
Projektivität ist also eine notwendige Bedingung für die Existenz des Maßes
P auf dem Produktraum. Sind alle beteiligten Messräume Borel’sche Räume (siehe
Definition 8.34) – also beispielsweise Rd , Zd , C([0, 1]) oder allgemeiner polnische
Räume –, so ist diese Bedingung auch ausreichend. Wir formulieren diese Aussage
zunächst für abzählbare Indexmengen.
so ist wegen XL = XJ L ◦ XJ, die Familie (PJ := P ◦ X −1
J
Satz 14.35. Sei I höchstens abzählbar, und seien (Ωi, Ai) Borel’sche Messräume,
i ∈ I. Sei(PJ, J⊂ I endlich) eine projektive Familie von W-Maßen. Dann gibt
es ein eindeutig bestimmtes W-Maß P auf (Ω,A) mit PJ = P ◦ X −1
J für jedes
endliche J ⊂ I.
Beweis. Ohne Einschränkung sei I = N0 und Pn := P {0,...,n}. Manprüft leicht
nach, dass endliche Produkte von Borel’schen Räumen wieder Borel’sche Räume
sind, also ist (Ω {0,...,n}, A {0,...,n}) Borel’sch für jedes n ∈ N0.
i∈I