Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Schreiben wir
17.3 Diskrete Markovprozesse in stetiger Zeit 347
τ n =inf{t ≥ 0:Xt = n} = Sn für n ∈ N,
so gilt E1[τ n ]= �n−1 k=1 1
k2 �
. Speziell ist also E1 supn∈N τ n� < ∞, das heißt, X
überschreitet in endlicher Zeit alle Schranken. Wir sagen, dass X explodiert. ✸
Beispiel 17.27 (Eine Variante des Pólya’schen Urnenmodells). Wir betrachten eine
Variante des Pólya’schen Urnenmodells mit schwarzen und roten Kugeln (vergleiche
Beispiel 12.29), wo nicht jeweils einfach nur eine weitere Kugel der selben
Farbe zurückgelegt wird, sondern für die k-te Kugel, die von einer Farbe gezogen
wird, werden rk weitere Kugeln zurückgelegt. Dabei sind die Zahlen r1,r2,...∈ N
die Parameter des Modells. Der Fall 1=r1 = r2 = ...entspricht dem klassischen
Pólya’schen Urnenmodell. Sei
�
1, falls die n-te Kugel schwarz ist,
Xn :=
0, sonst.
Beim klassischen Modell hatten wir gesehen (Beispiel 12.29), dass der Anteil der
schwarzen Kugeln gegen eine betaverteilte Zufallsvariable Z konvergiert, und dass
gegeben Z die Folge X1,X2,... unabhängig und BerZ verteilt ist. Ganz ähnliche
Aussagen bekommen wir in dem Fall, wo r = r1 = r2 = ... ist für ein r ∈ N.
In der Tat ändern sich hier nur die Parameter der Betaverteilung. Insbesondere (da
die Betaverteilung keine Atome in 0 und 1 hat), werden von jeder Farbe fast sicher
unendlich viele Kugeln gezogen. Es gilt also P[B] =0,woB das Ereignis ist, dass
von einer der Farben nur endlich viele Kugeln gezogen werden.
Wir werden jetzt sehen, dass dies nicht so sein muss, wenn die Zahlen rk nur rasch
genug wachsen. Wir nehmen an, dass anfangs je eine rote und eine schwarze Kugel
in der Urne liegen und schreiben wn =1+ �n k=1 rk für die Gesamtzahl von Kugeln
einer Farbe, nachdem die Farbe bereits n-mal gezogen wurde (n ∈ N0).
Wir betrachten zunächst eine extreme Situation wo wn =2nfür jedes n ∈ N. Die
Größe
Sn =2(X1 + ...+ Xn) − n
zählt, wie viel mehr schwarze Kugeln als rote Kugeln bis zum n-ten Schritt gezogen
wurden. Dann ist für jedes n ∈ N0
P[Xn+1 =1|Sn] = 2Sn
1+2 Sn
und P[Xn+1 =0|Sn] = 2−Sn
. −Sn 1+2
Zusammen erhalten wir, dass (Zn)n∈N0 := (|Sn|)n∈N0 eine Markovkette auf N0 ist
mit Übergangsmatrix
p(z,z ′ ⎧
⎪⎨
)=
⎪⎩
2 z /(1 + 2 z ), falls z ′ = z +1> 1,
1, falls z ′ = z +1=1,
1/(1 + 2 z ), falls z ′ = z − 1,
0, sonst.