Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Lemma 9.18. Seien σ und τ Stoppzeiten. Dann gilt:
(i) σ ∨ τ und σ ∧ τ sind Stoppzeiten.
(ii) Gilt σ, τ ≥ 0, dann ist auch σ + τ eine Stoppzeit.
9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten 187
(iii) Ist s ≥ 0, dann ist τ + s eine Stoppzeit, jedoch im Allgemeinen nicht τ − s.
Bevor wir zum einfachen formalen Beweis kommen, wollen wir festhalten, dass insbesondere
(i) und (iii) Eigenschaften sind, die wir von Stoppzeiten erwarten konnten:
Bei (i) ist die Interpretation klar. Für (iii) beachte man, dass τ − s um s in die
Zukunft blickt (denn {τ −s ≤ t} ∈Ft+s), während τ +s um s in die Vergangenheit
schaut. Stoppzeiten ist aber nur der Blick in die Vergangenheit erlaubt.
Beweis. (i) Für t ∈ I ist {σ ∨ τ ≤ t} = {σ ≤ t}∩{τ ≤ t} ∈Ft und {σ ∧ τ ≤
t} = {σ ≤ t}∪{τ ≤ t} ∈Ft.
(ii) Sei t ∈ I. Nach (i) sind τ ∧ t und σ ∧ t Stoppzeiten für jedes t ∈ I. Speziell
ist für jedes s ≤ t dann {τ ∧ t ≤ s} ∈Fs ⊂Ft. Andererseits ist für s>tstets
τ ∧ t ≤ s. Alsosindτ ′ := (τ ∧ t)+ {τ>t} und σ ′ := (σ ∧ t)+ {σ>t} messbar
bezüglich Ft und damit auch τ ′ + σ ′ . Es folgt {τ + σ ≤ t} = {τ ′ + σ ′ ≤ t} ∈Ft.
(iii) Für τ + s folgt dies aus (ii) (mit der Stoppzeit σ ≡ s). Für τ − s beachte man,
dass in der Definition der Stoppzeit für jedes t ∈ I lediglich gefordert wird, dass
{τ − s ≤ t} = {τ ≤ t + s} ∈Ft+s. Im Allgemeinen ist aber Ft+s eine echte
Obermenge von Ft, also τ − s keine Stoppzeit. ✷
Definition 9.19. Ist τ eine Stoppzeit, so heißt
Fτ := � A ∈F: A ∩{τ ≤ t} ∈Ft für jedes t ∈ I �
die σ-Algebra der τ-Vergangenheit.
Beispiel 9.20. Sei I höchstens abzählbar, X ein adaptierter, reellwertiger stochastischer
Prozess, K ∈ R und τ = inf{t : Xt ≥ K} die Stoppzeit des ersten
Eintretens in [K, ∞). Betrachte die Ereignisse A = {sup{Xt : t ∈ I} >K− 5}
und B = {sup{Xt : t ∈ I} >K+5}.
Für jedes t ∈ I ist {τ ≤ t} ⊂A, also ist A ∩{τ ≤ t} = {τ ≤ t} ∈Ft. Es folgt
A ∈Fτ . Jedoch ist im Allgemeinen B/∈Fτ , denn wir können bis zur Zeit τ eben
nicht entscheiden, ob X auch die Hürde K +5noch nehmen wird oder nicht. ✸
Lemma 9.21. Sind σ und τ Stoppzeiten mit σ ≤ τ, so gilt Fσ ⊂Fτ .
Beweis. Sei A ∈Fσ und t ∈ I. DannistA∩{σ ≤ t} ∈Ft. Daτ eine Stoppzeit
ist, ist auch {τ ≤ t} ∈Ft.Wegenσ≤τ ist also
A ∩{τ ≤ t} = � A ∩{σ ≤ t} � ∩{τ ≤ t} ∈ Ft. ✷