Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

490 23 Große Abweichungen
23.1 Satz von Cramér
Seien X1,X2,... u.i.v. mit PXi = N0,1. Dannistfür jedes x>0
P[Sn >xn]=P � X1 >x √ n � =1− Φ � x √ n � =(1+εn)
wobei (nach Lemma 22.2) εn
n→∞
−→ 0 gilt. Es gilt also
1
lim
n→∞ n log P�Sn >xn � = − x2
2
1
√ 2πn e −nx2 /2 ,
für jedes x>0. (23.4)
Man könnte versucht sein zu glauben, dass ein Zentraler Grenzwertsatz die Aussage
(23.4) auch für alle zentrierten u.i.v. Folgen (Xi) mit endlicher Varianz liefert. Dies
ist allerdings falsch, wie der folgende Satz zeigt. Die großen Abweichungen werden
eben stärker durch die Schwänze der Verteilung von Xi beeinflusst, als dies bei
den mittleren Fluktuationen der Fall ist, die durch die Varianz komplett determiniert
werden. Der folgende Satz zeigt dies exemplarisch anhand der Bernoulli-Verteilung.
Satz 23.1. Seien X1,X2,...u.i.v. mit P[X1 = −1] = P[X1 =1]= 1
2 . Dann gilt
für jedes x ≥ 0
1
lim
n→∞ n log P[Sn >xn]=−I(x), (23.5)
wobei die Ratenfunktion I gegeben ist durch
�
1+z
2 log(1 + z)+
I(z) =
1−z
2 log(1 − z), falls z ∈ [−1, 1],
(23.6)
∞, falls |z| > 1.
Bemerkung 23.2. Wir verstehen hierbei 0log0 = 0, wodurch I stetig wird in
[−1, 1] mit I(−1) = I(1) = log 2. Man bemerke: I ist strikt konvex auf [−1, 1]
mit I(0) = 0; I ist monoton wachsend auf [0, 1] und monoton fallend auf [−1, 0].✸
Beweis. Für x = 0 und x > 1 ist die Aussage trivial. Für x = 1 ist P[Sn ≥
n] =2−n , daher gilt auch hier (23.5) trivialerweise. Es reicht also, x ∈ (0, 1) zu
∼ bn,1/2 binomialverteilt, also
betrachten. Es ist Sn+n
2
P � Sn ≥ xn � =2 −n
�
k≥(1+x)n/2
� �
n
.
k
Wir setzen an(x) =⌈n(1 + x)/2⌉ für n ∈ N und erhalten, weil k ↦→ � � n
k monoton
fallend ist für k ≥ n
2 :
�� �
� � �
n
n
Qn(x) :=max : an(x) ≤ k ≤ n = . (23.7)
k
an(x)