Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

150 7 L p -Räume und Satz von Radon-Nikodym
Situation, wo (V,〈 · , · 〉) ein linearer Raum mit vollständiger positiv semidefiniter
symmetrischer Bilinearform ist. In diesem Fall ist N := {v ∈ V : 〈v, v〉 =0} und
V0 = V/N := {f + N : f ∈ V }. Wir schreiben 〈v + N ,w+ N〉0 := 〈v, w〉 und
erhalten so einen Hilbertraum (V0, 〈 · , · 〉0).
Korollar 7.27. Sei (V,〈 · , · 〉) ein linearer Vektorraum mit vollständiger positiv semidefiniter
symmetrischer Bilinearform. Die Abbildung F : V → R ist genau dann
stetig und linear, wenn es ein f ∈ V gibt mit F (x) =〈x, f〉 für alle x ∈ V .
Beweis. Die eine Implikation ist trivial. Sei also F stetig und linear. Dann ist
F (0) = 0, weil F linear ist, und für jedes v ∈Nist F (v) =F (0) = 0, weil
F stetig ist (klar: v liegt in jeder offenen Umgebung von 0, also muss F in v denselben
Wert annehmen wie in 0). Also induziert F eine stetige lineare Abbildung
F0 : V0 → R durch F0(x + N )=F (x). Nach Satz 7.26 existiert ein f + N∈V0
mit F0(x + N )=〈x + N ,f+ N〉0 für jedes x + N∈V0. Nach Definition von F0
und 〈 · , · 〉0 ist nun aber F (x) =〈x, f〉 für jedes x ∈ V . ✷
Korollar 7.28. Die Abbildung F : L 2 (μ) → R ist genau dann stetig und linear,
wenn es ein f ∈L 2 (μ) gibt mit F (g) = � gf dμ für alle g ∈L 2 (μ).
Beweis. Der Raum L 2 (μ) erfüllt die Bedingungen des vorangehenden Korollars.✷
7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
In diesem Abschnitt benutzen wir die eben gewonnen Aussagen über Hilberträume,
um ein Maß zu zerlegen in einen singulären und einen absolutstetigen Anteil bezüglich
eines zweiten Maßes. Für den absolutstetigen Anteil zeigen wir, dass er eine
Dichte besitzt. Seien μ und ν Maße auf (Ω,A). Nach Definition 4.13 heißt eine
messbare Funktion f : Ω → [0, ∞) eine Dichte von ν bezüglich μ, falls
�
ν(A) := f A dμ für jedes A ∈A. (7.3)
Andererseits definiert für jedes messbare f : Ω → [0, ∞) Gleichung (7.3) ein Maß
ν auf (Ω,A). Wir schreiben in diesem Fall auch
ν = fμ und f = dν
. (7.4)
dμ
Beispielsweise hat die Normalverteilung ν = N0,1 die Dichte f(x) = 1
√ 2π e −x2 /2
bezüglich des Lebesgue-Maßes μ = λ auf R.
Ist g : Ω → [0, ∞] messbar, so gilt (nach Satz 4.15)