Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Alternative Lösung
19.5 Netzwerkreduktion 409
Wir können die Lösung des Problems aus Beispiel 19.33 auch ohne Netzwerke,
alleine mit linearer Algebra angeben. Welche Lösung eleganter ist, ist wohl Geschmackssache.
Zunächst stellen wir die Übergangsmatrix p der Markovkette auf
(hierfür werden die Knoten des Graphen von 1 bis 12 durchnummeriert wie in
Abb. 19.13). Der Startpunkt ist die 2, das ” Gewinnfeld“ ist die 3 und das ” Verlustfeld“
die 5. Nun wird die Matrix p der in 3 und 5 getöteten Kette gebildet und
5
2
9
1
6
12
3
10
7
4
11
Abb. 19.13. Graph mit nummerierten Knoten
G =(I − p) −1 berechnet. Nach Übung 19.1.1 (mit A = {3, 5}, x =2und y =3)
ist die Wahrscheinlichkeit 3 vor 5 zu treffen P = G(2, 3) = 13
29 .
⎛
1 1 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0
⎜ 1
1 1
⎜ 3 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0
⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
⎜
1 1
⎜ 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0
⎜ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
⎜ 1 1
1 1
⎜ 0 4 4 0 0 0 0 0 4 4 0
p := ⎜
1 1
1 1
⎜
0 0 4 4 0 0 0 0 0 4 4
⎜
1
1
⎜ 0 0 0
⎜
2 0 0 0 0 0 0 2
⎜
1 1
⎜ 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0
⎜
1 1
0 0 0 0 0
⎜
3 3 0 0 0 0
⎜
1 1
⎝ 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
3
1
3
0
⎞
⎟
⎠
0 0 0 0 0 0 0 0 1
2
1
2 0 0
8