Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 375
Satz 18.17. Sei X eine Markovkette mit Übergangsmatrix p, zu der eine erfolgreiche
Kopplung existiert. Für alle μ, ν ∈M1(E) gilt dann � � n (μ − ν)p � � n→∞
−→ 0.
TV
Ist � speziell X aperiodisch und positiv rekurrent mit invarianter Verteilung π, so gilt
�Lμ[Xn] − π � � n→∞
−→ 0 für jedes μ ∈M1(E).
TV
Beweis. Es reicht, den Fall μ = δx, ν = δy für gewisse x, y ∈ E zu betrachten.
Summation über x und y liefert dann den allgemeinen Fall. Sei (Xn,Yn)n∈N0 eine
erfolgreiche Kopplung. Dann ist
�
� (δx − δy)p n�� ≤ 2 P
TV (x,y)[Xn �= Yn] n→∞
−→ 0. ✷
Wir fassen den Zusammenhang von Aperiodizität und Verteilungskonvergenz von
X im folgenden Satz zusammen.
Satz 18.18 (Konvergenzsatz für Markovketten). Sei X eine irreduzible, positiv
rekurrente Markovkette auf E mit invarianter Verteilung π. Dann sind äquivalent:
(i) X ist aperiodisch.
(ii) Für jedes x ∈ E gilt
�
� Lx[Xn] − π � � TV
(iii) Für ein x ∈ E gilt (18.11).
(iv) Für jedes μ ∈M1(E) gilt � �
� n μp − π�TV n→∞
−→ 0. (18.11)
n→∞
−→ 0.
Beweis. Die Implikationen (iv) ⇐⇒ (ii) =⇒ (iii) sind klar. Die Implikation
(i) =⇒ (ii) wurde in Satz18.17 gezeigt. Wir zeigen also (iii) =⇒ (i).
” (iii) =⇒ (i)“ Wir nehmen an, dass (i) nicht gilt. Hat X die Periode d ≥ 2, und
ist n ∈ N kein Vielfaches von d, so ist nach Satz 17.51
�
�δxp n − π � � ≥|p
TV n (x, x) − π({x})| = π({x}) > 0.
�
Für jedes x ∈ E gilt daher lim sup �δxp n→∞
n − π � � > 0, folglich gilt (iii) nicht. ✷
TV
Übung 18.2.1. Sei dP die Prohorov-Metrik (siehe (13.3) und Übung 13.2.1). Man
zeige: dP (P, Q) ≤ � dW (P, Q) für alle P, Q ∈M1(E). HatE endlichen Durchmesser
diam(E), soistdW (P, Q) ≤ (diam(E) +1)dP (P, Q) für alle P, Q ∈
M1(E). ♣
Übung 18.2.2. Man zeige durch eine direkte Rechnung, dass der in Beispiel 18.11
aus ˜ X und ˜ Y hergestellte Prozess (X, Y ) eine Kopplung mit Übergangsmatrix ¯p ist.
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