Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

26.1 Starke Lösungen 553
Die Existenz einer starken Lösung hängt also nicht von der konkreten Realisierung
der Brown’schen Bewegung oder der Filtration F ab. ✸
Definition 26.4. Wir sagen, dass die SDGL (26.1) eine eindeutige starke Lösung
hat, falls es ein F wie in Definition 26.1 gibt, sodass gilt:
(i) Ist W eine m-dimensionale Brown’sche Bewegung auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω,F, P) mit Filtration F und ξ eine F0-messbare von W unabhängige
Zufallsvariable mit P ◦ ξ−1 = μ, dann ist X := F (ξ,W) eine
Lösung von (26.2).
(ii) Für jede Lösung (X, W) von (26.2) gilt X = F (ξ,W).
Beispiel 26.5. Seien m = n =1und b ∈ R sowie σ>0.DerOrnstein-Uhlenbeck
Prozess
Xt := e bt � t
ξ + σ e (t−s)b dWs, t ≥ 0, (26.3)
ist eine starke Lösung der SDGL X0 = ξ und
0
dXt = σdWt + bXt dt.
In der Terminologie von Definition 26.1 ist (im Sinne des pfadweisen Itô-Integrals
bezüglich w)
�
F (x, w) = t ↦→ e bt � t
x + e (t−s)b �
dw(s)
für alle w ∈CqV (also mit stetiger quadratischer Variation). Wegen P[W ∈CqV] =
1, können wir F (x, w) =0setzen für w ∈ C([0, ∞); R) \CqV.
In der Tat gilt nach dem Satz von Fubini für Itô-Integrale (Übung 25.3.1)
ξ +
� t
0
� t
σdWs + bXs ds
0
� t
= ξ + σWt + be
0
bs � t �� s
ξds+ σb e
0 0
b(s−r) �
dWr ds
= ξ + σWt + � e bt − 1 � � t �� t
ξ + σ be
0 r
b(s−r) �
ds dWr
= e bt � t �
ξ + σ + � e b(t−r) − 1 � �
σ dWr
= Xt.
0
Man kann zeigen (siehe Satz 26.8), dass diese Lösung auch (stark) eindeutig ist. ✸
Beispiel 26.6. Seien α, β ∈ R. Die eindimensionale SDGL X0 = ξ und
0
dXt = αXt dWt + βXt dt (26.4)