Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

9.2 Martingale 189
Stadt Martiques) bedeutet im Reitsport einen ” beim Spring- und Geländereiten verwendeten
Hilfszügel“ als Teil des Zaumzeugs ([22]). Manchmal wird die verzweigte
Form, insbesondere des Jagdmartingals (französisch: la martingale à anneaux,
englisch: running martingale), als sinnbildlich für die Verdoppelungsstrategie im
Petersburger Spiel angesehen. Eben diese Verdoppelungsstrategie ist die zweite Bedeutung
von la martingale. Von hier aus scheint eine Bedeutungsverschiebung hin
zum mathematischen Begriff durchaus möglich. Eine andere Herleitung geht, statt
vom Aussehen, von der Funktion des Zaumzeugs aus und nennt das Bestreben einer
Spielstrategie, den Zufall im Zaume zu halten. So wird der Begriff des Martingals
zunächst auf Spielstrategien im Allgemeinen, dann auf die Verdoppelungsstrategie
im Speziellen übertragen. ✸
Bemerkung 9.27. Ist I = N, I = N0 oder I = Z, so reicht es, jeweils nur
t = s +1zu betrachten, denn nach der Turmeigenschaft der bedingten Erwartung
(Satz 8.14(iv)) ist
�
E[Xs+2
�Fs] =E � �
E[Xs+2
�Fs+1] � �
�Fs ,
und wenn die definierende Gleichung (beziehungsweise Ungleichung) in einem
Zeitschritt gilt, dann zieht sie sich durch in den zweiten Zeitschritt und so fort. ✸
Bemerkung 9.28. Geben wir die Filtration F nicht explizit an, so nehmen wir stillschweigend
an, dass F die von X erzeugte Filtration Ft = σ(Xs, s≤ t) ist. ✸
Bemerkung 9.29. Sind F und F ′ Filtrationen mit Ft ⊂F ′ t für jedes t, und ist X an
F adaptiert und ein F ′ -(Sub-, Super-)Martingal, dann ist X auch ein (Sub-, Super-)
Martingal bezüglich der kleineren Filtration F. Es gilt nämlich für ssist E[Yr �Fs] =0.Alsoistfür t>s
�
�
�
E[Xt
�Fs] = E[Xs
�Fs]+E[Xt − Xs
�Fs] = Xs +
Es folgt, dass X ein F-Martingal ist.
t�
r=s+1
�
E[Yr
�Fs] = Xs.
Analog ist X ein Submartingal, falls E[Yt] ≥ 0 für jedes t gilt beziehungsweise ein
Supermartingal, falls E[Yt] ≤ 0 für jedes t gilt. ✸