Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

202 10 Optional Sampling Sätze
−1 und +1 annehmen können. Sei also jetzt X ein Martingal mit |Xn − Xn−1| =1
fast sicher für jedes n ∈ N und mit X0 = x0 ∈ Z fast sicher. Sei f : Z → R eine
beliebige Abbildung. Dann ist Y := (f(Xn))n∈N0 ein integrierbarer, adaptierter
Prozess (weil |f(Xn)| ≤maxx∈{x0−n,...,x0+n} |f(x)|). Um die Doob-Zerlegung
von Y zu bestimmen, definieren wir die erste und zweite (diskrete) Ableitung von f
und
f ′ (x) :=
f(x +1)− f(x − 1)
2
f ′′ (x) :=f(x − 1) + f(x +1)− 2f(x).
Wir setzen noch F ′ n := f ′ (Xn−1) und F ′′
n := f ′′ (Xn−1). Durch Unterscheidung
der Fälle Xn = Xn−1 − 1 und Xn = Xn−1 +1sehen wir, dass für jedes n ∈ N
f(Xn) − f(Xn−1) = f(Xn−1 +1)−f(Xn−1 − 1)
(Xn − Xn−1)
2
+ 1
2 f(Xn−1 − 1) + 1
2 f(Xn−1 +1)− f(Xn−1)
= f ′ (Xn−1)(Xn − Xn−1)+ 1
2 f ′′ (Xn−1)
= F ′ n · (Xn − Xn−1)+ 1 ′′
F n .
2
Insgesamt erhalten wir also die diskrete Itô-Formel
f(Xn) =f(x0)+
n�
i=1
= f(x0)+(F ′ ·X)n +
f ′ (Xi−1)(Xi − Xi−1)+
n�
i=1
1 ′′
F i .
2
n�
i=1
1
2 f ′′ (Xi−1)
(10.4)
Hierbei ist F ′ ·X das diskrete stochastische Integral (siehe Definition 9.37). Nun ist
M := f(x0)+F ′ ·X ein Martingal nach Satz 9.39, weil F ′ vorhersagbar ist (und
|F ′ n|≤maxx∈{x0−n,...,x0+n} |F ′ (x)|), und A := ��n i=1 1
�
′′
2F i ist vorhersag-
n∈N0
bar. Also ist f(X) :=(f(Xn))n∈N0 = M + A die Doob-Zerlegung von f(X).
Speziell ist natürlich f(X) ein Submartingal, wenn f ′′ (x) ≥ 0 für alle x ∈ Z,wenn
also f konvex ist. Dies wussten wir zwar schon aus Satz 9.35, allerdings haben wir
hier auch noch quantifiziert, wie weit f(X) von einem Martingal abweicht.
In den Spezialfällen f(x) =x2 und f(x) =|x| ist f ′′ (x) =2beziehungsweise
f ′′ (x) =2· {0}(x), und wir erhalten aus (10.4) die Aussagen von Satz 10.4 und
Beispiel 10.8.
Später werden wir eine zu (10.4) vergleichbare Formel auch für stochastische Prozesse
in stetiger Zeit herleiten (siehe Kapitel 25.3). ✸