Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

– den Punktverteilungen δx mit x ∈ R,
– den Normalverteilungen Nμ,σ2 mit μ ∈ R und σ2 > 0,
– (Grenzwerten von) Faltungen von Poisson-Verteilungen.
16.1 Die Lévy-Khinchin Formel 317
Da die Faltungen von Poisson-Verteilungen eine besondere Rolle spielen, wollen
wir sie hier gesondert betrachten.
Ist ν ∈ M1(R) mit CFW ϕν und ist λ > 0, so kann man leicht nachrechnen,
dass ϕ(t) =exp(λ(ϕν(t) − 1)) die CFW von μλ = �∞ λk
k=0
e−λ
k! ν∗k ist. Formal
können wir also μλ = e∗λ(ν−δ0) schreiben. Tatsächlich ist μλ unbegrenzt teilbar
. Wir wollen nun die Parameter λ und ν zu λν zusammenfassen.
mit μλ = μ∗n λ/n
Für ν ∈Mf (R) können wir ν∗n = ν(R) n (ν/ν(R)) ∗n setzen, beziehungsweise
ν∗n =0, falls ν =0. Wir treffen daher die folgende Definition.
Definition 16.3. Die zusammengesetzte Poissonverteilung (compound Poisson
distribution) mit Intensitätsmaß ν ∈Mf (R) ist das folgende W-Maß auf R:
CPoiν := e ∗(ν−ν(R)δ0) := e −ν(R)
Die CFW von CPoiν ist gegeben durch
��
ϕν(t) =exp
∞�
n=0
ν ∗n
n! .
(e itx �
− 1) ν(dx) . (16.1)
Speziell ist CPoiμ+ν =CPoiμ ∗ CPoiν, also ist CPoiν unbegrenzt teilbar.
Beispiel 16.4. Für jede messbare Menge A ⊂ R \{0} und jedes r>0 ist
r −1 CPoirν(A) =e −rν(R) ν(A)+e −rν(R)
∞�
k=2
r k−1 ν ∗k (A)
k!
r↓0
−→ ν(A).
Wir wollen dies benutzen um zu zeigen, dass b − r,p =CPoirν für ein gewisses ν ∈
Mf (N). Wir berechnen dazu für k ∈ N
r −1 b − r,p({k}) =
r(r +1)···(r + k − 1)
rk!
p r k r↓0
(1 − p) −→
(1 − p)k
.
k
Wenn b − r,p =CPoirν für ein ν ∈Mf (N) ist, ist also ν({k}) =(1− p) k /k. Wir
berechnen die CFW von CPoirν für dieses ν
�
∞�
ϕrν(t) =exp r
k
k=1
((1 − p)e it ) k
�
= � 1 − (1 − p)e it�−r .
Dies ist aber die CFW von b − r,p, also ist tatsächlich b − r,p =CPoirν. ✸