Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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5.5 Der Poissonprozess 121 Nach den Annahmen (P2) und (P3) sind (X n (k), k=1,...,2 n ) unabhängig und identisch verteilt. Daher ist auch (X n (k), k=1,...,2 n ) unabhängig und identisch verteilt, nämlich X n (k) ∼ Berpn , wobei pn = P[N 2 −n t ≥ 1]. Schließlich setzen wir N n t := �2 n k=1 Xn (k). DannistNn t ∼ b2n ,pn . Offenbar ist N n+1 t − N n t ≥ 0. Nun gilt nach (P5) P [Nt �= N n � t ] ≤ P [X n (k) ≥ 2] = 2 n P [N2−nt ≥ 2] n→∞ −→ 0. (5.15) 2 n k=1 � Also ist P Nt = lim n→∞ N n t � =1. Nach dem Satz über monotone Konvergenz gilt αt= E [Nt] = lim n→∞ E [N n t ] = lim n→∞ pn 2 n . Nach dem Satz über Poisson-Approximation (Satz 3.7) gilt daher für jedes l ∈ N0 P[Nt = l] = lim n→∞ P [N n t = l] =Poiαt({l}). Also ist PNt =Poiαt. ✷ Bislang steht noch der Nachweis aus, dass es überhaupt Poissonprozesse gibt. In Kapitel 24 werden wir ein allgemeines Konstruktionsprinzip kennen lernen, das auch für allgemeinere Räume als [0, ∞) funktioniert (siehe auch Übung 5.5.1). Eine weitere, instruktive Konstruktion basiert auf den Wartezeiten zwischen den Klicks, oder formal zwischen den Unstetigkeitsstellen der Abbildung t ↦→ Nt(ω). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir zur Zeit s auf den nächsten Klick des Zählers länger als t Zeiteinheiten warten müssen? Wenn wir die Klicks als Poissonprozess mit Intensität α modellieren, ist diese Wahrscheinlichkeit P � N (s,s+t] =0 � = e −αt . Mithin ist die Wartezeit auf den nächsten Klick exponentialverteilt mit Parameter α. Außerdem sollten die Wartezeiten unabhängig voneinander sein. Wir nehmen nun die Wartezeiten als Startpunkt der Betrachtung und konstruieren hieraus den Poissonprozess. Sei W1,W2,...eine unabhängige Familie von exponentialverteilten Zufallsvariablen mit Parameter α>0, also P[Wn >x]=e−αx . Wir setzen n� Tn := Wk k=1 und interpretieren Wn als die Wartezeit zwischen dem (n − 1)-ten und dem nten Klick. Tn ist der Zeitpunkt des n-ten Klicks. In Anlehnung an diese Intuition definieren wir
122 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl Nt := #{n ∈ N0 : Tn ≤ t} als die Anzahl der Klicks bis zur Zeit t. Es ist dann Speziell ist also Nt eine Zufallsvariable. {Nt = k} = {Tk ≤ t
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Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie
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Prof. Dr. Achim Klenke Institut fü
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VI Vorwort In den ersten acht Kapit
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VIII Inhaltsverzeichnis 5.3 Starkes
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X Inhaltsverzeichnis 17.1 Begriffsb
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XII Inhaltsverzeichnis Literatur...
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2 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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4 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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6 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz
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8 1 Grundlagen der Maßtheorie Nach
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10 1 Grundlagen der Maßtheorie Bew
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12 1 Grundlagen der Maßtheorie (v)
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16 1 Grundlagen der Maßtheorie Sat
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18 1 Grundlagen der Maßtheorie Bei
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20 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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22 1 Grundlagen der Maßtheorie U(A
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28 1 Grundlagen der Maßtheorie Mes
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32 1 Grundlagen der Maßtheorie Def
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36 1 Grundlagen der Maßtheorie Wir
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38 1 Grundlagen der Maßtheorie Ana
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40 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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42 1 Grundlagen der Maßtheorie (i)
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44 1 Grundlagen der Maßtheorie so
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48 2 Unabhängigkeit Wir prüfen je
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50 2 Unabhängigkeit � � P j∈
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52 2 Unabhängigkeit (ii) Offensich
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54 2 Unabhängigkeit (iii) ” =⇒
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56 2 Unabhängigkeit Xn : Ω → E,
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58 2 Unabhängigkeit FY (x) =P �
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60 2 Unabhängigkeit Beweis. Für j
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62 2 Unabhängigkeit Beweis. ”
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64 2 Unabhängigkeit Beweis. Sei X
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66 2 Unabhängigkeit � � �
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68 2 Unabhängigkeit Aufgrund der M
Seite 81 und 82: 70 2 Unabhängigkeit 1 0 −1 �
Seite 83 und 84: 72 2 Unabhängigkeit 2. Schritt Wir
Seite 85 und 86: 74 2 Unabhängigkeit von Kanten k
Seite 87 und 88: 76 3 Erzeugendenfunktion (ii) Die V
Seite 89 und 90: 78 3 Erzeugendenfunktion � � α
Seite 91 und 92: 80 3 Erzeugendenfunktion also ψSn(
Seite 93 und 94: 82 3 Erzeugendenfunktion Satz 3.11
Seite 95 und 96: 84 4 Das Integral m� m� n� α
Seite 97 und 98: 86 4 Das Integral fn ↑ f und gn
Seite 99 und 100: 88 4 Das Integral Zu (a): Es ist (f
Seite 101 und 102: 90 4 Das Integral Satz 4.17. Die Ab
Seite 103 und 104: 92 4 Das Integral Beispiel 4.22 (Pe
Seite 105 und 106: 94 4 Das Integral Satz 4.23 (Rieman
Seite 107 und 108: 96 4 Das Integral Hieraus folgt (4.
Seite 109 und 110: 98 5 Momente und Gesetze der Große
Seite 111 und 112: 100 5 Momente und Gesetze der Groß
Seite 131: 120 5 Momente und Gesetze der Groß
Seite 135 und 136: 6 Konvergenzsätze Im starken und s
Seite 137 und 138: 6.1 Fast-überall- und stochastisch
Seite 139 und 140: 6.1 Fast-überall- und stochastisch
Seite 141 und 142: 6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
Seite 143 und 144: 6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
Seite 145 und 146: Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Dies i
Seite 147 und 148: 6.3 Vertauschung von Integral und A
Seite 149 und 150: 7 L p -Räume und Satz von Radon-Ni
Seite 151 und 152: 7.2 Ungleichungen und Satz von Fisc
Seite 157 und 158: 7.3 Hilberträume 147 wobei wir im
Seite 159 und 160: 7.3 Hilberträume 149 Da V vollstä
Seite 161 und 162: 7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
Seite 163 und 164: 7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
Seite 165 und 166: 7.5 Ergänzung: Signierte Maße 155
Seite 171 und 172: V ′ := {F : V → R ist stetig un
Seite 173 und 174: 7.6 Ergänzung: Dualräume 163 Beme
Seite 175 und 176: 166 8 Bedingte Erwartungen Durch da
Seite 177 und 178: 168 8 Bedingte Erwartungen Offenbar
Seite 179 und 180: 170 8 Bedingte Erwartungen Satz 8.1
Seite 181 und 182: 172 8 Bedingte Erwartungen Korollar
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174 8 Bedingte Erwartungen Tat: Sei
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176 8 Bedingte Erwartungen Bemerkun
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178 8 Bedingte Erwartungen Beispiel
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180 8 Bedingte Erwartungen Ein sepa
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182 8 Bedingte Erwartungen Übung 8
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184 9 Martingale E = Z (mit der dis
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186 9 Martingale F = σ(D). Wir int
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188 9 Martingale Definition 9.22. I
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190 9 Martingale Beispiel 9.31. Wir
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192 9 Martingale Übung 9.2.4 (Ungl
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194 9 Martingale vorhersagbar und l
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196 9 Martingale Wir wollen nun X a
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10 Optional Sampling Sätze Wir hab
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10.1 Doob-Zerlegung und quadratisch
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10.2 Optional Sampling und Optional
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10.2 Optional Sampling und Optional
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10.3 Gleichgradige Integrierbarkeit
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11 Martingalkonvergenzsätze und An
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E � (|X| ∗ n ∧ K) p� ≤ 11
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und C = � a,b∈Q a
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11.2 Martingalkonvergenzsätze 215
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11.2 Martingalkonvergenzsätze 217
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11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess
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12 Rückwärtsmartingale und Austau
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12.1 Austauschbare Familien von Zuf
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12.1 Austauschbare Familien von Zuf
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1 n n� i=1 Xi In der Tat: Setzen
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12.3 Satz von de Finetti 229 Defini
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12.3 Satz von de Finetti 231 das he
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13 Konvergenz von Maßen In der Wah
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13.1 Wiederholung Topologie 235 Def
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13.1 Wiederholung Topologie 237 Da
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13.1 Wiederholung Topologie 239 Üb
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13.2 Schwache und vage Konvergenz 2
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13.3 Der Satz von Prohorov 249 Satz
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13.3 Der Satz von Prohorov 251 besi
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13.3 Der Satz von Prohorov 253 �
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13.3 Der Satz von Prohorov 255 1. S
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13.4 Anwendung: Satz von de Finetti
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14 W-Maße auf Produkträumen Als M
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14.1 Produkträume 261 Definition 1
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14.2 Endliche Produkte und Übergan
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14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
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14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
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14.4 Markov’sche Halbgruppen 277
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14.4 Markov’sche Halbgruppen 279
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15 Charakteristische Funktion und Z
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15.1 Trennende Funktionenklassen 28
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Seite 295 und 296:
Seite 297 und 298:
15.2 Charakteristische Funktionen:
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15.2 Charakteristische Funktionen:
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ϕμ(t) = 15.2 Charakteristische Fu
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15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
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15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
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15.4 Charakteristische Funktion und
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� � � �ϕ(t + h) − � n
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15.4 Charakteristische Funktion und
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15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 305
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Beweis. Für jedes n ∈ N ist νn
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15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Gr
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316 16 Unbegrenzt teilbare Verteilu
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17 Markovketten Markovprozesse mit
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17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
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Ex 17.1 Begriffsbildung und Konstru
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17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
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17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
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17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
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17.3 Diskrete Markovprozesse in ste
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Schreiben wir 17.3 Diskrete Markovp
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17.4 Diskrete Markovketten, Rekurre
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1 17.4 Diskrete Markovketten, Rekur
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17.5 Anwendung: Rekurrenz und Trans
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17.6 Invariante Verteilungen 361 Sa
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17.6 Invariante Verteilungen 363 Sa
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18 Konvergenz von Markovketten Wir
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3 1/2 1/2 2 1 1 18.1 Periodizität
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18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 36
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18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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1 0.8 0.6 0.4 0.2 Magnetisierung 18
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18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
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18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 383
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18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 385
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Dabei ist die Varianz des einzelnen
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19 Markovketten und elektrische Net
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19.1 Harmonische Funktionen 391 Die
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19.3 Elektrische Netzwerke 393 Defi
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19.3 Elektrische Netzwerke 395 und
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x =0 0 u(0)=0 R R R R R R 1 2 3 4 5
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19.4 Rekurrenz und Transienz 19.4 R
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19.4 Rekurrenz und Transienz 401 Be
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19.4 Rekurrenz und Transienz 403 -
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Also ist R ′ eff(0 ↔∞)= 1 3
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Schritt 1. Die Schleife am rechten
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Alternative Lösung 19.5 Netzwerkre
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Übung 19.5.3. Man betrachte den Gr
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19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebu
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20 Ergodentheorie Gesetze der groß
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20.1 Begriffsbildung 417 Beispiel 2
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20.2 Ergodensätze 419 Daher ist X0
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Beweis. Setze Yn := � � � n
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20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
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20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
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1 lim n→∞ n 20.5 Mischung 427 n
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21 Die Brown’sche Bewegung In Bei
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21.1 Stetige Modifikationen 431 Fü
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21.1 Stetige Modifikationen 433 s
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21.1 Stetige Modifikationen 435 Üb
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21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
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21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
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21.3 Starke Markoveigenschaft 441
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21.3 Starke Markoveigenschaft 443 B
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21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 44
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21.5 Konstruktion durch L 2 -Approx
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X n := 21.5 Konstruktion durch L 2
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21.6 Der Raum C([0, ∞)) 451 Übun
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21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 461 und 462:
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
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21.8 Satz von Donsker 457 Satz 21.4
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E � ( ¯ T Kn,n t+s − ¯ T Kn,n
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und induktiv 21.9 Pfadweise Konverg
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21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzw
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21.10 Quadratische Variation und lo
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Seite 477 und 478:
Seite 479 und 480:
Seite 481 und 482:
Seite 483 und 484:
22 Gesetz vom iterierten Logarithmu
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22.1 Iterierter Logarithmus für di
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22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 489 und 490:
Für n ∈ N und σ ∈{−, +} n s
Seite 491 und 492:
22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
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M ′ n := sup |Bs − Btn−1 s∈
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490 23 Große Abweichungen 23.1 Sat
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492 23 Große Abweichungen Beweis.
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494 23 Große Abweichungen Λ ∗ (
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496 23 Große Abweichungen Beweis.
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498 23 Große Abweichungen Übung 2
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500 23 Große Abweichungen Seien nu
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502 23 Große Abweichungen Analog i
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504 23 Große Abweichungen Untere S
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506 23 Große Abweichungen 0.01 0.0
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508 23 Große Abweichungen Im Fall
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510 24 Der Poisson’sche Punktproz
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25 Das Itô-Integral Das Itô-Integ
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25.1 Das Itô-Integral bezüglich d
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25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
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25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
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25.3 Die Itô-Formel 539 F (x) =x 2
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25.3 Die Itô-Formel 541 Da ε>0 be
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ft := lim n→∞ n� � 〈M〉t
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25.3 Die Itô-Formel 545 Korollar 2
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25.4 Dirichlet-Problem und Brown’
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25.5 Rekurrenz und Transienz der Br
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26 Stochastische Differentialgleich
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26.1 Starke Lösungen 553 Die Exist
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Die linke Seite in (26.6) ist aber
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und � t Jt := 0 � N b(s, Xs )
Seite 563 und 564:
1.5 1 0.5 0 26.1 Starke Lösungen 5
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26.2 Schwache Lösungen und Marting
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26.2 Schwache Lösungen und Marting
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Im Folgenden gelte stets: 26.2 Schw
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26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösun
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Seite 575 und 576:
3 2 1 0 26.3 Eindeutigkeit schwache
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Seite 579 und 580:
Literatur 1. M. Aizenman, H. Kesten
Seite 581 und 582:
Literatur 577 37. R. M. Dudley. Rea
Seite 583 und 584:
Literatur 579 80. Jürgen Jost. Par
Seite 585 und 586:
Literatur 581 123. Jim Pitman und M
Seite 587 und 588:
Notation A Indikatorfunktion der Me
Seite 589 und 590:
μ ⊥ ν μist singulär bezüglic
Seite 591 und 592:
Glossar englischer Ausdrücke a.a.
Seite 593 und 594:
Namensregister Banach, Stefan, 1892
Seite 595 und 596:
Prohorov, Yurij Vasil’evich (Proh
Seite 597 und 598:
594 Sachregister Cesàro-Limes 62 C
Seite 599 und 600:
596 Sachregister -Itô-Formel - - m
Seite 601 und 602:
598 Sachregister Moran-Modell 343 d
Seite 603 und 604:
600 Sachregister - terminale 61, 22
Seite 605:
602 Sachregister Wählermodell 216
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