Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

13.1 Wiederholung Topologie 237
Da jedes Kn beschränkt ist, ist λ(Kn) < ∞. Es existiert also nach dem vorangehenden
Satz zu jedem n ∈ N eine offene Menge Un ⊃ A ∩ Kn mit λ(Un \ A) 0 LipK(E; F ) den Raum der Lipschitzstetigen
Funktionen auf E.
Wir schreiben kurz LipK(E) :=LipK(E; R) und Lip(E) :=Lip(E; R).
Definition 13.9. Sei F ⊂ M(E) eine Familie von Radon-Maßen. Eine Familie C
messbarer Abbildungen E → R heißt trennende Familie für F, falls für je zwei
Maße μ, ν ∈Fgilt:
�� �
fdμ= fdν für jedes f ∈C∩L 1 (μ) ∩L 1 �
(ν) =⇒ μ = ν.
Lemma 13.10. Sei (E,d) ein metrischer Raum. Zu jeder abgeschlossenen Menge
A ⊂ E und jedem ε>0 gibt es eine Lipschitz-stetige Abbildung ρA,ε : E → [0, 1]
mit
�
1, falls x ∈ A,
ρA,ε(x) =
0, falls d(x, A) ≥ ε.
Beweis. Sei ϕ : R → [0, 1], t ↦→ (t ∨ 0) ∧ 1. Für x ∈ E setze ρA,ε(x) =
1 − ϕ � ε −1 d(x, A) � . ✷
Satz 13.11. Sei (E,d) ein metrischer Raum.
(i) Lip1(E;[0, 1]) ist trennend für M(E).
(ii) Ist E zudem lokalkompakt, so ist Cc(E) ∩ Lip1(E;[0, 1]) trennend für M(E).