Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

380 18 Konvergenz von Markovketten
Abb. 18.5. Gleichgewichte des Ising-Modells für ein 800 × 800 Gitter. (schwarzer Punkt =
spin +1) Links: kälter als die kritische Temperatur (β >βc), rechts: wärmer.
Abb. 18.6. Ising-Modell (150 × 150 Gitter) unterhalb der kritischen Temperatur. Die Computersimulation
zeigt auch nach langer Laufzeit noch nicht das Gleichgewicht, sondern metastabile
Zustände, in denen man die Weiss’schen Bezirke gut sehen kann.
H(x i ) − H(x) = �
j: j∼i
j: j∼i
{x(j)�=−x(i)} − �
j: j∼i
= −2 �
�
{x(j)�=x(i)} − 1
�
.
2
{x(j)�=x(i)}
Also ist π(xi )/π(x) =exp � − 2β � �
j∼i {x(j)=x(i)} − 1
��
2 , und dieser Ausdruck
ist leicht zu berechnen, da er nur von den 2d Nachbarspins abhängt und zudem die
Kenntnis von Zβ nicht benötigt. Wir erhalten also als Metropolis-Übergangsmatrix