Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Wir machen die Abschätzung
Die Stirling’sche Formel
liefert nun
1
lim log Qn(x)
n→∞ n
= lim
n→∞
23.1 Satz von Cramér 491
2 −n Qn(x) ≤ P � Sn ≥ xn � ≤ (n +1)2 −n Qn(x). (23.8)
1
n log
1
= lim
n→∞ n log
lim
n→∞
1
n! nn e −n√ 2πn =1
n!
an(x)! · (n − an(x))!
n n
an(x) an(x) · (n − an(x)) n−an(x)
�
= lim log(n) −
n→∞
an(x)
n log � an(x) � n − an(x)
− log
n
� n − an(x) ��
�
= lim log(n) −
n→∞
1+x
2
= − 1+x
2
−
log 1+x
2
1 − x
2
− 1 − x
2
�
log 1+x
2 +log(n)
�
�
1 − x
log
2 +log(n)
��
log
1 − x
2
= −I(x)+log2.
Wegen (23.8) folgt hieraus (23.5). ✷
Ein allgemeines Verfahren zur Bestimmung der Ratenfunktion I (unter gewissen
restriktiven Annahmen an die Verteilung von (Xi)) liefert der Satz von Cramér [30].
Satz 23.3 (Cramér (1938)). Seien X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit
logarithmischer momentenerzeugender Funktion
Λ(t) :=logE � e tX1� < ∞ für jedes t ∈ R. (23.9)
Sei
Λ ∗ � �
(x) :=suptx
− Λ(t)
t∈R
für x ∈ R,
die Legendre-Transformierte von Λ. Dann gilt für jedes x>E[X1]
lim
n→∞
1
n log P� Sn ≥ xn � = −I(x) :=−Λ ∗ (x). (23.10)