Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 307
Beweis. Für jedes x ∈ R ist |e itx − 1 − itx| ≤ t2 x 2
2 .WegenE[Xn,l] =0ist
kn�
kn� �
|ϕn,l(t) − 1| = �E[e itXn,l
�
− 1] �
l=1
≤
≤
l=1
kn�
E �� � itXn,l e − itXn,l − 1 � � � + � �E[itXn,l] � �
l=1
kn� t2 l=1
2 E[X2 n,l] = t2
2
. ✷
�
kn�
�
Lemma 15.46. Gilt (i) in Satz 15.43, so ist lim � log ϕn(t)− E � e itXn,l
�
−1 � �
� =0.
n→∞
Beweis. Setze mn := max |ϕn,l(t) − 1|. Beachte, dass für jedes ε>0 gilt:
l=1,...,kn
�
�e itx − 1 � �
2 2 2 x /ε , falls |x| >ε,
� ≤
εt, falls |x| ≤ε.
Hieraus folgt
���e |ϕn,l(t) − 1| ≤E
itXn,l
� � ���e − 1� {|Xn,l|≤ε} + E
itXn,l
� �
− 1� {|Xn,l|>ε}
Also ist für jedes ε>0
≤ εt +2ε −2 �
E X 2 �
n,l {|Xn,l|>ε} .
lim sup
n→∞
l=1
� −2
mn ≤ lim sup εt +2ε Ln(ε)
n→∞
� = εt,
und damit lim
n→∞ mn =0.Nunistfür x ∈ C mit |x| ≤ 1
2 stets | log(1+x)−x| ≤x2 .
Ist n groß genug, sodass mn < 1
2 ,dannist