Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

486 22 Gesetz vom iterierten Logarithmus
22.3 Satz von Hartman-Wintner
Ziel dieses Abschnitts ist der Beweis des Gesetzes vom iterierten Logarithmus für
u.i.v. Zufallsvariablen Xn, n ∈ N mit zweiten Momenten, der auf Hartman und
Wintner (1941) (siehe [68]) zurückgeht. (In der einfacheren Situation, wo die Xn
Bernoulli Zufallsvariablen sind, hat bereits Khinchin (1923) die obere Abschätzung
im Gesetz vom iterierten Logarithmus gefunden.)
Satz 22.9 (Hartman-Wintner, Gesetz vom iterierten Logarithmus).
Seien X1,X2,... u.i.v. reelle Zufallsvariablen mit E[X1] =0und Var[X1] =1.
Sei Sn = X1 + ...+ Xn, n ∈ N. Dann gilt
lim sup
n→∞
Sn
√ 2n log log n =1 f.s. (22.12)
Wir beweisen den Satz, indem wir ihn auf das Gesetz vom iterierten Logarithmus
für die Brown’sche Bewegung zurückführen. Zu diesem Zweck fassen wir die Partialsummen
Sn als Werte der Brown’schen Bewegung B zu gewissen Stoppzeiten
τ1 ≤ τ2 ≤ ... auf. Dass dies funktioniert, sichert der Skorohod’sche Einbettungssatz.
Beweis. Nach Korollar 22.7 gibt es auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum
ein Filtration F und eine Brown’sche Bewegung B, die ein F-Martingal ist,
D
sowie Stoppzeiten τ1 ≤ τ2 ≤ ..., sodass (Sn)n∈N = (Bτn )n∈N. Ferner sind
(τn − τn−1)n∈N u.i.v. mit E[τn − τn−1] =Var[X1] =1.
Nach dem Gesetz vom iterierten Logarithmus für die Brown’sche Bewegung (siehe
Satz 22.1) ist
Bt
lim sup √ =1 f.s.
t→∞ 2t log log t
Es reicht also zu zeigen, dass
lim sup
t→∞
Bt − Bτ ⌊t⌋
√ 2t log log t =0 f.s.
Nach dem starken Gesetz der großen Zahl (Satz 5.17) gilt 1
nτn ε>0 und t0 = t0(ω) so groß, dass
1
1+ε ≤ τ⌊t⌋ ≤ 1+ε für jedes t ≥ t0.
t
Setze
Es reicht zu zeigen, dass lim sup
t→∞
ε) n , n ∈ N, und setze
Mt := sup
s∈[t/(1+ε),t(1+ε)]
|Bs − Bt|.
n→∞
−→ 1 f.s. Sei also
Mt
√ 2t log log t =0. Betrachte die Folge tn =(1+