Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

84 4 Das Integral
m�
m� n�
αi μ(Ai) = αi μ(Ai ∩ Bj)
i=1
=
i=1 j=1
m�
i=1 j=1
n�
βj μ(Ai ∩ Bj) =
n�
βj μ(Bj). ✷
Dieses Lemma erlaubt uns, die folgende Definition zu treffen (weil der definierte
Wert I(f) von der gewählten Normaldarstellung nicht abhängt).
Definition 4.2. Wir definieren eine Abbildung I : E + → [0, ∞] durch
I(f) =
m�
i=1
αi μ(Ai),
falls f die Normaldarstellung f = � m
i=1 αi Ai hat.
Lemma 4.3. Die Abbildung I ist positiv linear und monoton: Seien f,g ∈ E + und
α ≥ 0. Dann gelten die folgenden Aussagen.
(i) I(αf) =αI(f).
(ii) I(f + g) =I(f)+I(g).
(iii) Ist f ≤ g,soistI(f) ≤ I(g).
Beweis. Übung. ✷
Definition 4.4 (Integral). Ist f : Ω → [0, ∞] messbar, so definieren wir das Integral
von f bezüglich μ durch
�
fdμ:= sup � I(g) : g ∈ E + ,g≤ f � .
Bemerkung 4.5. Nach Lemma 4.3(iii) ist I(f) = � fdμfür jedes f ∈ E + .Also
ist das Integral eine Fortsetzung der Abbildung I von E + auf die Menge der nichtnegativen
messbaren Funktionen. ✸
Sind f,g : Ω → R Abbildungen, so schreiben wir f ≤ g, falls f(ω) ≤ g(ω)
für jedes ω ∈ Ω gilt. Analog verwenden wir die Schreibweise f ≥ 0 und so fort.
Hingegen schreiben wir ” f ≤ g fast überall“, falls die schwächere Bedingung gilt,
dass eine μ-Nullmenge N existiert mit f(ω) ≤ g(ω) für jedes ω ∈ N c .
j=1