Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

200 10 Optional Sampling Sätze
vorhersagbares Martingal, also ist (siehe Übung 9.2.2) Mn − M ′ n = M0 − M ′ 0 =0
für jedes n ∈ N0. ✷
Beispiel 10.2. Sei I = N0 oder I = {0,...,N}. Sei(Xn)n∈Iein quadratisch integrierbares
F–Martingal (das heißt E[X2 n] < ∞ für jedes n ∈ I). Nach Satz 9.32
ist Y := (X2 n)n∈I ein Submartingal. Sei Y = M + A die Doob-Zerlegung
von Y . Es ist dann (X2 �
n − An)n∈I ein Martingal. Ferner ist E[Xi−1Xi
�Fi−1]
�
=
Xi−1E[Xi
, also (wie in (10.1))
An =
�Fi−1] =X 2 i−1
=
=
n�
i=1
�
E[X 2 �
�Fi−1] i − X 2 �
i−1
n� �
E[(Xi − Xi−1) 2 � �Fi−1] − 2X 2 �
i−1 +2E[Xi−1Xi
i=1
n�
i=1
� Fi−1]
E � (Xi − Xi−1) 2 � �
�Fi−1 . ✸
Definition 10.3. Sei (Xn)n∈I ein quadratisch integrierbares F-Martingal. Der
eindeutig bestimmte vorhersagbare Prozess A, mit dem (X 2 n − An)n∈I ein Martingal
wird, heißt quadratischer Variationsprozess von X und wird in Formeln mit
(〈X〉n)n∈I := A bezeichnet.
Aus dem vorangehenden Beispiel ergibt sich sofort der folgende Satz.
Satz 10.4. Sei X wie in Definition 10.3. Dann ist für n ∈ N0
und
〈X〉n =
n�
i=1
E � (Xi − Xi−1) 2 � �
�Fi−1 �
(10.2)
E[〈X〉n] =Var[Xn − X0]. (10.3)
Bemerkung 10.5. Sind Y und A wie in Beispiel 10.2, dann ist A monoton wachsend,
weil (X 2 n)n∈I ein Submartingal ist (vergleiche Satz 10.1). Deshalb wird A
manchmal auch der wachsende Prozess von Y genannt. ✸
Beispiel 10.6. Seien Y1,Y2,... unabhängige, quadratisch integrierbare, zentrierte
Zufallsvariablen. Dann wird durch Xn := Y1 + ... + Yn ein quadratisch integrierbares
Martingal definiert mit 〈X〉n = �n 2
i=1 E[Yi ],dennesistAn �
=
n �
2
i=1 E[Y �Y1,...,Yi−1] i
= �n 2
i=1 E[Yi ] (wie in Beispiel 10.2).
Man beachte, dass es für diese einfache Darstellung von 〈X〉 nicht ausreicht, dass
die Y1,Y2,... unkorreliert sind. ✸