Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

370 18 Konvergenz von Markovketten
Beispiel 18.8. Sei (E,ϱ) ein polnischer Raum. Für zwei W-Maße P und Q auf
(E,B(E)) schreiben wir K(P, Q) ⊂M1(E × E) für die Menge der Kopplungen
von P und Q. Wirkönnen dann einen Abstand, die so genannte Wasserstein
Metrik, aufM1(E) definieren durch
� �
�
dW (P, Q) :=inf ϱ(x, y) ϕ(d(x, y)) : ϕ ∈ K(P, Q) . (18.7)
Man kann zeigen (Satz von Kantorovich-Rubinstein [85], siehe auch [37, Seite
420ff]), dass
� �
�
dW (P, Q) =sup fd(P − Q) : f ∈ Lip1(E; R) . (18.8)
Man vergleiche diese Darstellung der Wasserstein Metrik mit derjenigen der Totalvariationsnorm:
� �
�P − Q�TV =sup fd(P − Q) : f ∈L ∞ �
(E) mit �f�∞ ≤ 1 . (18.9)
Tatsächlich können wir auch hier eine Definition durch eine Kopplung angeben: Sei
D := {(x, x) : x ∈ E} die Diagonale in E × E.Dannist
�P − Q�TV =inf � ϕ((E × E) \ D) : ϕ ∈ K(P, Q) � . (18.10)
Siehe [59] für einen Vergleich verschiedener Metriken auf M1(E). ✸
Ein weiteres Beispiel für eine komplexere Kopplung liefert der folgende Satz von
Skorohod, den wir hier nur zitieren.
Satz 18.9 (Skorohod Kopplung). Es seien μ, μ1,μ2,... W-Maße auf einem pol-
n→∞
nischen Raum E mit μn −→ μ. Dann existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω,A, P) mit Zufallsvariablen X, X1,X2,... mit PX = μ und PXn = μn
n→∞
jedes n ∈ N sowie Xn −→ X fast sicher.
für
Beweis. Siehe etwa [84, Seite 79]. ✷
Wir wollen die Kopplung diskreter Markovketten betrachten, die in unterschiedlichen
Verteilungen μ und ν gestartet werden. Im Folgenden sei E stets ein abzählbarer
Raum und p eine stochastische Matrix auf E.
Definition 18.10. Eine bivariate Markovkette ((Xn,Yn))n∈N0 mit Werten in E × E
heißt eine Kopplung, falls (Xn)n∈N0 und (Yn)n∈N0 Markovketten mit Übergangsmatrix
p sind.
Eine Kopplung heißt erfolgreich, falls P (x,y)[Xn �= Yn] n→∞
−→ 0 für alle x, y ∈ E.