Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

406 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Um ein elektrisches Netzwerk zu reduzieren, kann man vier elementare Transformationen
anwenden:
1. Entfernen von Schleifen Die drei Punkte ganz rechts im Graphen bilden eine
Schleife, die ohne Veränderungen im Rest des Netzwerks entfernt werden kann.
Insbesondere kann jede Kante entfernt werden, die 0 und 1 direkt verbindet.
2. Zusammenfassen von seriellen Kannten Zwei (oder mehr) Kanten, die seriell
liegen, und deren dazwischen liegende Knoten keine weiteren Verbindungen haben,
können durch ein Kante ersetzt werden, deren Widerstand die Summe der einzelnen
Widerstände ist (siehe Abb. 19.1).
3. Zusammenfassen von parallelen Kannten Zwei (oder mehr) Kanten mit Widerständen
R1,...,Rn, die die selben Knoten verbinden, können durch eine Kante
mit Widerstand R =(R −1
1 + ...+ R−1 n ) −1 ersetzt werden (siehe Abb. 19.2).
4. Stern-Dreieck-Transformation (Siehe Übung 17.5.1) Der sternförmige Ausschnitt
eines Netzwerk links in Abb. 19.8 ist äquivalent zum dreieckigen Ausschnitt
rechts, wenn die Widerstände R1,R2,R3, � R1, � R2, � R3 die folgende Bedingung
erfüllen
wobei
x1
Ri ˜ Ri = δ für jedes i =1, 2, 3, (19.12)
� −1
δ = R1R2R3 R1 + R−1 2
R1
R3
x3
x2
�
+ R−1 3 =
z R2
x1
Abb. 19.8. Stern-Dreieck-Transformation
�R1 � R2 � R3
�R1 + � R2 + � .
R3
Wir lösen nun die Aufgabe aus Beispiel 19.33 konkret. Wir nehmen an, dass anfangs
jede Kante den Widerstand 1 hat. Kanten, die im Verlauf der Reduktion andere
Widerstände als 1 haben, werden mit dem entsprechenden Widerstand beschriftet.
�R2
�R3
x3
�R1
x2