Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C([0, ∞)) 453
Definition 21.33. Sei P das W-Maß auf Ω = C([0, ∞)), bezüglich dessen der
kanonische Prozess X eine Brown’sche Bewegung ist. Dann heißt P Wiener-Maß.
Das Tripel (Ω,A, P) heißt Wiener-Raum, und X heißt kanonische Brown’sche
Bewegung oder Wiener-Prozess.
Bemerkung 21.34. Manchmal soll eine Brown’sche Bewegung nicht in X0 =0
starten, sondern in einem beliebigen Punkt x.MitPx bezeichnen wir dann dasjenige
Maß auf C([0, ∞)),für das � X =(Xt − x, t ∈ [0, ∞)) eine Brown’sche Bewegung
(mit � X0 =0)ist. ✸
Übung 21.6.1. Man zeige: Die Abbildung F∞ : Ω → [0, ∞], ω ↦→ sup{ω(t) :t ∈
[0, ∞)} ist A-messbar. ♣
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C([0, ∞))
Seien X und (X n )n∈N Zufallsvariablen mit Werten in C([0, ∞)), also stetige stochastische
Prozesse, mit Verteilungen PX und (PX n)n∈N.
Definition 21.35. Wir sagen, dass die endlichdimensionalen Verteilungen (finite dimensional
distributions) von (X n ) gegen die von X konvergieren, falls für jedes
k ∈ N und t1,...,tk ∈ [0, ∞) gilt
n n→∞
Wir schreiben dann X =⇒
fdd
Lemma 21.36. Aus Pn n→∞
−→
fdd
(X n t1 ,...,Xn n→∞
tk ) =⇒ (Xt1 ,...,Xtk ).
n→∞
X oder PXn −→
fdd
P und Pn n→∞
−→
fdd
PX.
Q folgt P = Q.
Beweis. Nach Satz 14.12(iii) legen die endlichdimensionalen Verteilungen P eindeutig
fest. ✷
Satz 21.37. Schwache Konvergenz in M1(Ω,d) impliziert fdd-Konvergenz:
Pn
n→∞
−→ P =⇒ Pn n→∞
−→
fdd
Beweis. Sei k ∈ N und t1,...,tk ∈ [0, ∞). Die Abbildung
ϕ : C([0, ∞)) → R k , ω ↦→ (ω(t1),...,ω(tk))
ist stetig. Nach dem Continuous Mapping Theorem (Satz 13.25 auf Seite 245) gilt
−1 n→∞
Pn ◦ ϕ −→ P ◦ ϕ−1 , also Pn n→∞
−→ P . ✷
fdd
P.