Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

2.1 Unabhängigkeit von Ereignissen 49
A1 := {ω ∈ Ω : ω1 = ω2},
A2 := {ω ∈ Ω : ω2 = ω3},
A3 := {ω ∈ Ω : ω1 = ω3}.
Dann ist #A1 =#A2 =#A3 =36, also P[A1] =P[A2] =P[A3] = 1
6 . Ferner
ist #(Ai ∩ Aj) =6, falls i �= j, also P[Ai ∩ Aj] = 1
36 . Daher gilt (2.2). Jedoch ist
#(A1 ∩ A2 ∩ A3) =6, also P[A1 ∩ A2 ∩ A3] = 1 1 1 1
36 �= 6 · 6 · 6 , mithin ist (2.3)
verletzt, und die Ereignisse A1,A2,A3 sind nicht unabhängig. ✸
Um für größere Familien von Ereignissen Unabhängigkeit zu definieren, müssen
wir die Gültigkeit von Produktformeln wie (2.2) und (2.3) nunmehr nicht nur für
Paare und Tripel fordern, sondern für alle endlichen Teilfamilien. Wir treffen daher
die folgende Definition.
Definition 2.3 (Unabhängigkeit von Ereignissen). Sei I eine beliebige Indexmenge,
und sei (Ai)i∈I eine beliebige Familie von Ereignissen. Die Familie
(Ai)i∈I heißt unabhängig, falls für jede endliche Teilmenge J ⊂ I gilt, dass
� � �
P = �
P[Aj].
j∈J
Aj
Das wichtigste Beispiel für eine unendlich große, unabhängige Familie von Ereignissen
wird durch die unendliche (unabhängige) Wiederholung eines Zufallsexperiments
gegeben.
Beispiel 2.4. Sei E eine endliche Menge (die möglichen Ausgänge des einzelnen
Experiments) und (pe)e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor auf E. Sei (wie in
Satz 1.64) der Wahrscheinlichkeitsraum Ω = EN ausgestattet mit der σ-Algebra
A = σ({[ω1,...,ωn] :ω1,...,ωn ∈ E, n ∈ N}) und P = ��
e∈E peδe
�⊗N das
Produktmaß (oder Bernoulli-Maß) auf (Ω,A), also P � [ω1,...,ωn] � n�
= pωi .Sei
Ãi ⊂ E für jedes i ∈ N, und Ai das Ereignis, dass Ãi im i-ten Durchgang des
Experiments auftritt, also
Ai = � ω ∈ Ω : ωi ∈ Ãi
� �
=
[ω1,...,ωi].
j∈J
(ω1,...,ωi)∈E i−1 × Ãi
Nach unserer Intuition sollte die Familie (Ai)i∈N unabhängig sein, wenn die Definition
der Unabhängigkeit sinnvoll sein soll. Wir weisen jetzt nach, dass dies in der
Tat richtig ist. Sei J ⊂ N endlich mit k := #J und n := max J. Wir setzen formal
Bj = Aj und ˜ Bj = Ãj für j ∈ J und Bj = Ω und ˜ Bj = E für j ∈{1,...,n}\J.
Dann ist
i=1