Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

23 Große Abweichungen
Wir haben (bis auf das Gesetz vom iterierten Logarithmus) bislang zwei Typen von
Grenzwertsätzen für Partialsummen Sn = X1 + ...+ Xn, n ∈ N, von identisch
verteilten, reellen Zufallsvariablen (Xi)i∈N mit Verteilungsfunktion F gesehen:
(1) (Schwache) Gesetze der großen Zahl besagen (unter gewissen Annahmen an die
Familie (Xi)i∈N), dass für jedes x>0
P �� � Sn − n E[X1] � � ≥ xn � n→∞
−→ 0. (23.1)
Hieraus abgeleitet erhalten wir für die empirischen Verteilungsfunktionen Fn :
x ↦→ 1 �n n→∞
n i=1 (−∞,x](Xi) die stochastische Konvergenz �Fn − F �∞ −→ 0.
Wir wollen dies umformulieren zu: Für jede Verteilungsfunktion G �= F und
jedes ε>0 mit ε