Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

502 23 Große Abweichungen
Analog ist für abgeschlossenes C ⊂ R d
lim sup
n→∞
1
n log P Sn/n(C) ≥−inf Ĩ(C).
Mit anderen Worten: (P Sn/n)n∈N erfüllt ein LDP mit Rate n und Ratenfunktion Ĩ.
Es ist also nur noch zu zeigen, dass Ĩ = Λ∗ gilt.
Man beachte, dass t ↦→ Λ(t) differenzierbar (mit Ableitung Λ ′ ) und strikt konvex
ist. Daher besitzt das Variationsproblem für Λ∗ (x) einen eindeutigen Maximierer
t∗ (x). Genauer gilt
Λ ∗ (x) =〈t ∗ (x),x〉−Λ(t ∗ (x))
und Λ∗ (x) > 〈t, x〉−Λ(t) für alle t �= t∗ (x),sowieΛ ′ (t∗ (x)) = x.
Nach der Jensenschen Ungleichung ist für jedes ν ∈M1(Σ)
�
Λ(t) = log e 〈t,y〉 μ(dy)
� �
�
〈t,y〉 μ({y})
=log e ν(dy)
ν({y})
� �
�
〈t,y〉 μ({y})
≥ log e ν(dy)
ν({y})
= 〈t, m(ν)〉−H(ν |μ)
mit Gleichheit genau dann, wenn ν = νt,woνt({y}) =μ({y})e 〈t,y〉−Λ(t) .Alsoist
〈t, x〉−Λ(t) ≤ inf H(ν |μ)
ν∈Ex
mit Gleichheit, falls νt ∈ Ex. Nun ist aber m(νt) =Λ ′ (t), also ist νt∗ (x) ∈ Ex und
damit
Λ ∗ (x) =〈t ∗ (x),x〉−Λ(t ∗ (x)) = inf H(ν |μ) = Ĩ(x). ✸
ν∈Ex
Das Beweisprinzip, das wir im letzten Beispiel verwandt haben, um das LDP mit
Ratenfunktion Ĩ herzuleiten, wird Kontraktionsprinzip genannt. Wir formulieren
es als Satz.
Satz 23.16 (Kontraktionsprinzip). Die Familie (με)ε>0 von W-Maßen auf E erfülle
ein LDP mit Ratenfunktion I. IstFein topologischer Raum und m : E → F
stetig, so erfüllen die Bildmaße (με ◦ m−1 )ε>0 ein LDP mit Ratenfunktion Ĩ(x) =
inf I(m−1 ({x})).
23.4 Varadhan’sches Lemma und Freie Energie
Wir nehmen an, dass (με)ε>0 eine Familie von W-Maßen ist, die ein LDP mit Ratenfunktion
I erfüllt. Wir wissen also, dass die Masse von με für kleine ε>0 mehr und