Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

50 2 Unabhängigkeit
�
�
P
j∈J
Aj
�
�
�
= P
= �
j∈J
e1∈ ˜ B1
Bj
�
··· �
�
�n
= P
n�
en∈ ˜ Bn
j=1
j=1
Bj
pej =
�
n�
�
�
j=1
e∈ ˜ Bj
pe
�
= �
�
�
j∈J
e∈ Ãj
Dies gilt speziell natürlich für #J =1, also ist P[Ai] = �
e∈Ãi pe für jedes i ∈ N.
Es folgt
�
�
�
P = �
P[Aj]. (2.4)
j∈J
Aj
Da dies für alle endlichen J ⊂ N gilt, ist die Familie (Ai)i∈N unabhängig. ✸
Sind A und B unabhängig, so sind auch A c und B unabhängig, denn P[A c ∩ B] =
P[B] − P[A ∩ B] =P[B] − P[A]P[B] =(1− P[A])P[B] =P[A c ]P[B]. Wir
wollen diese Beobachtung etwas verallgemeinern und als Satz festhalten.
Satz 2.5. Sei I eine beliebige Indexmenge, und sei (Ai)i∈I eine Familie von Ereignissen.
Setze B0 i = Ai und B1 i = Aci für i ∈ I. Dann sind folgende drei Aussagen
äquivalent.
(i) Die Familie (Ai)i∈I ist unabhängig.
(ii) Es gibt ein α ∈{0, 1} I , sodass die Familie (B αi
i )i∈I unabhängig ist.
(iii) Für jedes α ∈{0, 1} I ist die Familie (B αi
i )i∈I unabhängig.
Beweis Übung!
Beispiel 2.6 (Euler’sche Primzahlformel). Die Riemann’sche Zetafunktion ist
definiert durch die Dirichlet-Reihe
∞�
ζ(s) := n −s
für s ∈ (1, ∞).
n=1
Die Euler’sche Primzahlformel ist die Produktdarstellung
ζ(s) = � � −s
1 − p �−1 , (2.5)
p∈P
wobei P := {p ∈ N : p ist Primzahl} ist.
Wir beweisen die Produktdarstellung probabilistisch. Sei Ω = N und (für festes s)
P definiert durch
P[{n}] =ζ(s) −1 n −s
für n ∈ N.
Sei pN = {pn : n ∈ N} und Pn = {p ∈P: p ≤ n}. Wir fassen pN ⊂ Ω als
Ereignis auf und bemerken, dass (pN, p∈P) unabhängig ist. In der Tat: Für k ∈ N
und unterschiedliche p1,...,pk ∈P ist � k
i=1 piN =(p1 ···pk)N, also
j∈J
pe
�
.