Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

4.3 Lebesgue-Integral versus Riemann-Integral 93
n→∞
�
Dann gilt Sn −→ S f.s., jedoch ist limn→∞ Sn dP < � SdP =1, weil S =1
fast sicher gilt. Nach dem Lemma von Fatou ist dies nur möglich, wenn es keine
integrierbare Minorante zur Folge (Sn)n∈N gibt. Setzen wir ˜ S := inf{Sn : n ∈ N},
so gilt in der Tat P[ ˜ S =1−2n−1 ]=P[D1 = ...= Dn−1 = −1 undDn =1}] =
p(1 − p) n−1 , also � SdP ˜
�∞ = n=1 (1 − 2n−1 ) p(1 − p) n−1 = −∞, weil p ≤ 1
2 .✸
Übung 4.2.1. Sei (Ω,A,μ) ein Maßraum und f ∈L 1 (μ). Man zeige: Zu jedem
ε>0 gibt es ein A ∈Amit μ(A) < ∞ und � � �
A fdμ− � fdμ � �