Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten 185
(iii) Sei (Xn)n∈Z reellwertig und stationär, und seien k ∈ N und c1,...,ck ∈ R.
Dann definiert
k�
Yn :=
i=1
ciXn−i
einen stationären Prozess Y =(Yn)n∈Z. Gilt c1,...,ck ≥ 0 und c1 + ...+ ck =1,
so wird Y das gleitende Mittel von X (mit Gewichten c1,...,ck) genannt. ✸
Die beiden folgenden Definitionen sind auch für allgemeinere halbgeordnete Mengen
I sinnvoll, wir beschränken uns jedoch weiterhin auf den Fall I ⊂ R.
Definition 9.9 (Filtration). Eine Familie F =(Ft, t∈ I) von σ-Algebren mit
Ft ⊂Ffür jedes t ∈ I, heißt Filtration, falls Fs ⊂Ft für alle s, t ∈ I mit s ≤ t.
Definition 9.10 (adaptiert). Ein stochastischer Prozess X =(Xt, t∈ I) heißt
adaptiert an die Filtration F, falls Xt bezüglich Ft messbar ist für jedes t ∈ I.
Gilt Ft = σ(Xs, s≤ t) für jedes t ∈ I, so schreiben wir F = σ(X) und nennen
F die von X erzeugte Filtration.
Bemerkung 9.11. Offenbar ist ein stochastischer Prozess stets an seine erzeugte
Filtration adaptiert. Die erzeugte Filtration ist die ” kleinste“ Filtration, an die ein
Prozess adaptiert ist. ✸
Definition 9.12 (vorhersagbar / previsibel). Ein stochastischer Prozess X =
(Xn, n ∈ N0) heißt vorhersagbar (oder previsibel) bezüglich der Filtration
F =(Fn, n∈ N0), falls X0 konstant ist und für jedes n ∈ N gilt:
Xn ist Fn−1-messbar.
Beispiel 9.13. Seien I = N0, und seien Y1,Y2,... reelle Zufallsvariablen sowie
Xn := � n
m=1 Ym. Setze
F0 = {∅,Ω} und Fn = σ(Y1,...,Yn) für n ∈ N.
Dann ist F =(Fn, n∈ N0) =σ(Y ) die von Y =(Yn)n∈N erzeugte Filtration,
und X ist an F adaptiert, also ist σ(X) ⊂ F. Offenbar ist (Y1,...,Yn) messbar
bezüglich σ(X1,...,Xn), also σ(Y ) ⊂ σ(X), und daher gilt auch F = σ(X).
Sei nun � Xn := � n
m=1 [0,∞)(Ym). Dann ist auch � X an F adaptiert, jedoch ist im
Allgemeinen F�σ( � X). ✸
Beispiel 9.14. Sei I = N0, und seien D1,D2,...unabhängig und identisch verteilt
mit P[Di = −1] = P[Di =1]= 1
2 für jedes i ∈ N. Setze D =(Di)i∈N und