Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

Im Folgenden sei i = √ −1.
Definition 24.6. Wir bezeichnen mit
� � �
LX(f) =E exp −
��
fdX , f ∈B + (E),
die Laplace-Transformierte von X und mit
� � �
ϕX(f) =E exp i
��
fdX , f ∈B R b (E),
die charakteristische Funktion von X.
24.1 Zufällige Maße 511
Satz 24.7. Die Verteilung PX eines zufälligen Maßes X ist eindeutig bestimmt sowohl
durch die Werte der Laplace-Transformierten LX(f), f ∈ C + c (E), als auch
durch die Werte der charakteristischen Funktion ϕX(f), f ∈ Cc(E).
Beweis. Dies folgt aus Satz 24.5 und dem Eindeutigkeitssatz für charakteristische
Funktionen (Satz 15.8) beziehungsweise Laplace-Transformierte (Übung 15.1.2)
von Zufallsvariablen auf [0, ∞) n . ✷
Definition 24.8. Wir sagen, dass ein zufälliges Maß X auf E unabhängige Zuwächse
hat, falls für je endlich viele paarweise disjunkte Mengen A1,...,An die
Zufallsvariablen X(A1),...,X(An) unabhängig sind.
Korollar 24.9. Die Verteilung eines zufälligen Maßes X auf E mit unabhängigen
Zuwächsen ist durch (P X(A), A∈Bb(E)) eindeutig bestimmt.
Beweis. Dies folgt direkt aus Satz 24.5. ✷
Definition 24.10. Sei μ ∈ M(E). Ein zufälliges Maß X mit unabhängigen Zuwächsen
heißt Poisson’scher Punktprozess (PPP) mit Intensitätsmaß μ, falls für
jedes A ∈ Bb(E) gilt, dass P X(A) = Poi μ(A). Wir schreiben dann PPPμ :=
PX ∈M1(M(E)) und sagen kurz, dass X ein PPPμ ist.
Bemerkung 24.11. Die Definition des PPP (und die Konstruktion im folgenden
Satz) funktioniert auch, wenn (E,E,μ) lediglich ein σ-endlicher Maßraum ist. Die
Charakterisierung mit Hilfe von Laplace-Transformierten und charakteristischen
Funktionen ist allerdings etwas einfacher im hier betrachteten Fall lokalkompakter,
polnischer Räume. ✸
Satz 24.12. Zu jedem μ ∈M(E) existiert ein Poisson’scher Punktprozess X mit
Intensitätsmaß μ.