Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

21.5 Konstruktion durch L 2 -Approximation
21.5 Konstruktion durch L 2 -Approximation 447
Wir geben eine funktionalanalytische Konstruktion der Brown’schen Bewegung
durch eine L 2 –Approximation an. Der Einfachheit halber betrachten wir als Zeitintervall
[0, 1] statt [0, ∞).
Es sei also H = L2 ([0, 1]) der Hilbertraum der quadratintegrierbaren (bezüglich
des Lebesgue-Maßes λ) Funktionen [0, 1] → R mit Skalarprodukt
�
〈f,g〉 = f(x)g(x) λ(dx)
[0,1]
und Norm �f� = � 〈f,f〉 (vergleiche Kapitel 7.3). Zwei Funktionen f,g ∈ H
werden als gleich angesehen, wenn f = gλ-f.ü. Sei (bn)n∈N eine Orthonormalbasis
(ONB) von H, also 〈bm,bn〉 = {m=n} und
lim
n→∞
�
�
�f −
n� �
�
〈f,bm〉bm�
=0 für jedes f ∈ H.
m=1
Speziell gilt für jedes f ∈ H die Parseval’sche Gleichung
und für f,g ∈ H
�f� 2 =
〈f,g〉 =
∞�
m=1
〈f,bm〉 2
(21.21)
∞�
〈f,bm〉〈g, bm〉. (21.22)
m=1
Betrachte jetzt eine u.i.v. Folge (ξn) n∈N von N0,1-Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω,A, P). Für n ∈ N und t ∈ [0, 1] setze
� �
n�
�
ξmbm(s) λ(ds) =
n�
ξm〈 [0,t],bm〉.
X n t =
[0,t](s)
Offenbar ist für n ≥ m
E � (X m t − X n t ) 2� = E
=
m=1
�� n�
n�
k=m+1
k=m+1
m=1
� �
ξk [0,t],bk
�� �n
� �2 [0,t],bk ≤
∞�
k=m+1
l=m+1
� �2. [0,t],bk
Wegen � ∞
k=1 〈 [0,t],bk〉 2 = � [0,t]� 2 = t