Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

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350 17 Markovketten 1/2 2 1 1 1/3 1/6 1/2 3 1/2 3/4 1/2 4 6 Abb. 17.1. Markovkette mit acht Zuständen. Die Zahlen sind die Übergangswahrscheinlichkeiten für die entsprechenden Pfeile. Der Zustand 2 ist absorbierend, die Zustände 1, 3, 4 und 5 transient, die Zustände 6, 7 und 8 (positiv) rekurrent. � k Px τy < ∞ � = Ex = Ex � � Px � 1/2 τ k y < ∞ � �F τ k−1 y F (y, y) · k−1 {τy
1 17.4 Diskrete Markovketten, Rekurrenz und Transienz 351 r r 0 1 2 3 1�r 1�r 1�r 1�r Abb. 17.2. Markovkette auf N0 mit Parameter r ∈ (0, 1). Die Kette ist positiv rekurrent, wenn r ∈ (0, 1/2), nullrekurrent, wenn r =1/2 und transient für r ∈ (1/2, 1). (ii) In Abb. 17.2 hat die Kette eine Tendenz, nach rechts auszuwandern, falls r> 1 2 ist. Daher ist in diesem Fall jeder Zustand transient. Ist hingegen r ∈ (0, 1 2 ), so hat die Kette einen Drall nach links (außer in 0) und besucht daher jeden Zustand immer wieder, ist also rekurrent. Mit etwas mehr Nachdenken kann man zeigen (siehe Übung 17.6.4), dass die Kette in diesem Fall sogar positiv rekurrent ist und im verbleibenden Fall r = 1 2 nullrekurrent ✸ Definition 17.33. Mit N(y) = �∞ n=0 {Xn=y} bezeichnen wir die Gesamtzahl der Besuche von X in y und mit ∞� G(x, y) =Ex[N(y)] = p n (x, y) die Greenfunktion von X. Satz 17.34. (i) Für alle x, y ∈ E gilt (mit 1/0 :=∞) � F (x,y) 1−F (y,y) , G(x, y) = 1 1−F (y,y) , � falls x �= y = F (x, y) G(y, y)+ falls x = y {x=y}. (17.17) n=0 (ii) Ein Punkt x ∈ E ist genau dann rekurrent, wenn G(x, x) =∞. Beweis. (ii) folgt aus (i). Wir müssen also noch (17.17) zeigen. Nach Satz 17.29 ist ∞� G(x, y) =Ex[N(y)] = Px[N(y) ≥ k] = {x=y} + = ∞� k=1 k=1 � F (x,y) 1−F (y,y) , falls x �= y, 1 1−F (x,x) , falls x = y. � k Px τy < ∞ � = {x=y} + ∞� F (x, y) F (y, y) k−1 Die zweite Gleichheit in (17.17) folgt hieraus direkt. ✷ k=1 r
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Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie
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Prof. Dr. Achim Klenke Institut fü
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VI Vorwort In den ersten acht Kapit
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VIII Inhaltsverzeichnis 5.3 Starkes
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X Inhaltsverzeichnis 17.1 Begriffsb
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XII Inhaltsverzeichnis Literatur...
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2 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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4 1 Grundlagen der Maßtheorie Defi
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6 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz
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8 1 Grundlagen der Maßtheorie Nach
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10 1 Grundlagen der Maßtheorie Bew
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12 1 Grundlagen der Maßtheorie (v)
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16 1 Grundlagen der Maßtheorie Sat
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18 1 Grundlagen der Maßtheorie Bei
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20 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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22 1 Grundlagen der Maßtheorie U(A
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28 1 Grundlagen der Maßtheorie Mes
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32 1 Grundlagen der Maßtheorie Def
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36 1 Grundlagen der Maßtheorie Wir
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38 1 Grundlagen der Maßtheorie Ana
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40 1 Grundlagen der Maßtheorie (ii
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42 1 Grundlagen der Maßtheorie (i)
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44 1 Grundlagen der Maßtheorie so
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48 2 Unabhängigkeit Wir prüfen je
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50 2 Unabhängigkeit � � P j∈
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52 2 Unabhängigkeit (ii) Offensich
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54 2 Unabhängigkeit (iii) ” =⇒
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56 2 Unabhängigkeit Xn : Ω → E,
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58 2 Unabhängigkeit FY (x) =P �
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60 2 Unabhängigkeit Beweis. Für j
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62 2 Unabhängigkeit Beweis. ”
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64 2 Unabhängigkeit Beweis. Sei X
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66 2 Unabhängigkeit � � �
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68 2 Unabhängigkeit Aufgrund der M
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70 2 Unabhängigkeit 1 0 −1 �
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72 2 Unabhängigkeit 2. Schritt Wir
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74 2 Unabhängigkeit von Kanten k
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76 3 Erzeugendenfunktion (ii) Die V
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78 3 Erzeugendenfunktion � � α
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80 3 Erzeugendenfunktion also ψSn(
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82 3 Erzeugendenfunktion Satz 3.11
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84 4 Das Integral m� m� n� α
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86 4 Das Integral fn ↑ f und gn
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88 4 Das Integral Zu (a): Es ist (f
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90 4 Das Integral Satz 4.17. Die Ab
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92 4 Das Integral Beispiel 4.22 (Pe
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94 4 Das Integral Satz 4.23 (Rieman
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96 4 Das Integral Hieraus folgt (4.
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98 5 Momente und Gesetze der Große
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100 5 Momente und Gesetze der Groß
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6 Konvergenzsätze Im starken und s
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
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6.1 Fast-überall- und stochastisch
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6.2 Gleichgradige Integrierbarkeit
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Beweis. ” (i) =⇒ (ii)“ Dies i
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6.3 Vertauschung von Integral und A
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7 L p -Räume und Satz von Radon-Ni
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7.2 Ungleichungen und Satz von Fisc
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7.3 Hilberträume 147 wobei wir im
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7.3 Hilberträume 149 Da V vollstä
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7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
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7.4 Lebesgue’scher Zerlegungssatz
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7.5 Ergänzung: Signierte Maße 155
Seite 167 und 168:
Seite 169 und 170:
Seite 171 und 172:
V ′ := {F : V → R ist stetig un
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7.6 Ergänzung: Dualräume 163 Beme
Seite 175 und 176:
166 8 Bedingte Erwartungen Durch da
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168 8 Bedingte Erwartungen Offenbar
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170 8 Bedingte Erwartungen Satz 8.1
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172 8 Bedingte Erwartungen Korollar
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174 8 Bedingte Erwartungen Tat: Sei
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176 8 Bedingte Erwartungen Bemerkun
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178 8 Bedingte Erwartungen Beispiel
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180 8 Bedingte Erwartungen Ein sepa
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182 8 Bedingte Erwartungen Übung 8
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184 9 Martingale E = Z (mit der dis
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186 9 Martingale F = σ(D). Wir int
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188 9 Martingale Definition 9.22. I
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190 9 Martingale Beispiel 9.31. Wir
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192 9 Martingale Übung 9.2.4 (Ungl
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194 9 Martingale vorhersagbar und l
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196 9 Martingale Wir wollen nun X a
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10 Optional Sampling Sätze Wir hab
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10.1 Doob-Zerlegung und quadratisch
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10.2 Optional Sampling und Optional
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10.2 Optional Sampling und Optional
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Seite 217 und 218:
11 Martingalkonvergenzsätze und An
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E � (|X| ∗ n ∧ K) p� ≤ 11
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und C = � a,b∈Q a
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11.2 Martingalkonvergenzsätze 215
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11.2 Martingalkonvergenzsätze 217
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11.3 Beispiel: Verzweigungsprozess
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12 Rückwärtsmartingale und Austau
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12.1 Austauschbare Familien von Zuf
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12.1 Austauschbare Familien von Zuf
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1 n n� i=1 Xi In der Tat: Setzen
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12.3 Satz von de Finetti 229 Defini
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12.3 Satz von de Finetti 231 das he
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13 Konvergenz von Maßen In der Wah
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13.1 Wiederholung Topologie 235 Def
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13.1 Wiederholung Topologie 237 Da
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13.1 Wiederholung Topologie 239 Üb
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13.2 Schwache und vage Konvergenz 2
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Seite 255 und 256:
Seite 257 und 258:
13.3 Der Satz von Prohorov 249 Satz
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13.3 Der Satz von Prohorov 251 besi
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13.3 Der Satz von Prohorov 253 �
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13.3 Der Satz von Prohorov 255 1. S
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13.4 Anwendung: Satz von de Finetti
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14 W-Maße auf Produkträumen Als M
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14.1 Produkträume 261 Definition 1
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14.2 Endliche Produkte und Übergan
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Seite 275 und 276:
Seite 277 und 278:
Seite 279 und 280:
Seite 281 und 282:
14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
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14.3 Satz von Ionescu-Tulcea und Pr
Seite 285 und 286:
14.4 Markov’sche Halbgruppen 277
Seite 287 und 288:
14.4 Markov’sche Halbgruppen 279
Seite 289 und 290:
15 Charakteristische Funktion und Z
Seite 291 und 292:
15.1 Trennende Funktionenklassen 28
Seite 293 und 294:
Seite 295 und 296:
Seite 297 und 298:
15.2 Charakteristische Funktionen:
Seite 299 und 300:
15.2 Charakteristische Funktionen:
Seite 301 und 302:
ϕμ(t) = 15.2 Charakteristische Fu
Seite 303 und 304:
15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
Seite 305 und 306: 15.3 Der Lévy’sche Stetigkeitssa
Seite 307 und 308: 15.4 Charakteristische Funktion und
Seite 309 und 310: � � � �ϕ(t + h) − � n
Seite 311 und 312: 15.4 Charakteristische Funktion und
Seite 313 und 314: 15.5 Der Zentrale Grenzwertsatz 305
Seite 317 und 318: Beweis. Für jedes n ∈ N ist νn
Seite 321 und 322: 15.6 Mehrdimensionaler Zentraler Gr
Seite 323 und 324: 316 16 Unbegrenzt teilbare Verteilu
Seite 339 und 340: 17 Markovketten Markovprozesse mit
Seite 341 und 342: 17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
Seite 343 und 344: Ex 17.1 Begriffsbildung und Konstru
Seite 345 und 346: 17.1 Begriffsbildung und Konstrukti
Seite 347 und 348: 17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
Seite 349 und 350: 17.2 Diskrete Markovketten, Beispie
Seite 351 und 352: 17.3 Diskrete Markovprozesse in ste
Seite 353 und 354: Schreiben wir 17.3 Diskrete Markovp
Seite 355: 17.4 Diskrete Markovketten, Rekurre
Seite 359 und 360: 17.5 Anwendung: Rekurrenz und Trans
Seite 367 und 368: 17.6 Invariante Verteilungen 361 Sa
Seite 369 und 370: 17.6 Invariante Verteilungen 363 Sa
Seite 371 und 372: 18 Konvergenz von Markovketten Wir
Seite 373 und 374: 3 1/2 1/2 2 1 1 18.1 Periodizität
Seite 375 und 376: 18.2 Kopplung und Konvergenzsatz 36
Seite 383 und 384: 18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
Seite 385 und 386: 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Magnetisierung 18
Seite 387 und 388: 18.3 Markovketten Monte Carlo Metho
Seite 389 und 390: 18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 383
Seite 391 und 392: 18.4 Konvergenzgeschwindigkeit 385
Seite 393 und 394: Dabei ist die Varianz des einzelnen
Seite 395 und 396: 19 Markovketten und elektrische Net
Seite 397 und 398: 19.1 Harmonische Funktionen 391 Die
Seite 399 und 400: 19.3 Elektrische Netzwerke 393 Defi
Seite 401 und 402: 19.3 Elektrische Netzwerke 395 und
Seite 403 und 404: x =0 0 u(0)=0 R R R R R R 1 2 3 4 5
Seite 405 und 406: 19.4 Rekurrenz und Transienz 19.4 R
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19.4 Rekurrenz und Transienz 401 Be
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19.4 Rekurrenz und Transienz 403 -
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Also ist R ′ eff(0 ↔∞)= 1 3
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Schritt 1. Die Schleife am rechten
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Alternative Lösung 19.5 Netzwerkre
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Übung 19.5.3. Man betrachte den Gr
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19.6 Irrfahrt in zufälliger Umgebu
Seite 421 und 422:
20 Ergodentheorie Gesetze der groß
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20.1 Begriffsbildung 417 Beispiel 2
Seite 425 und 426:
20.2 Ergodensätze 419 Daher ist X0
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Beweis. Setze Yn := � � � n
Seite 429 und 430:
20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
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20.4 Anwendung: Rekurrenz von Irrfa
Seite 433 und 434:
1 lim n→∞ n 20.5 Mischung 427 n
Seite 435 und 436:
21 Die Brown’sche Bewegung In Bei
Seite 437 und 438:
21.1 Stetige Modifikationen 431 Fü
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21.1 Stetige Modifikationen 433 s
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21.1 Stetige Modifikationen 435 Üb
Seite 443 und 444:
21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
Seite 445 und 446:
21.2 Konstruktion und Pfadeigenscha
Seite 447 und 448:
21.3 Starke Markoveigenschaft 441
Seite 449 und 450:
21.3 Starke Markoveigenschaft 443 B
Seite 451 und 452:
21.4 Ergänzung: Feller Prozesse 44
Seite 453 und 454:
21.5 Konstruktion durch L 2 -Approx
Seite 455 und 456:
X n := 21.5 Konstruktion durch L 2
Seite 457 und 458:
21.6 Der Raum C([0, ∞)) 451 Übun
Seite 459 und 460:
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 461 und 462:
21.7 Konvergenz von W-Maßen auf C(
Seite 463 und 464:
21.8 Satz von Donsker 457 Satz 21.4
Seite 465 und 466:
E � ( ¯ T Kn,n t+s − ¯ T Kn,n
Seite 467 und 468:
und induktiv 21.9 Pfadweise Konverg
Seite 469 und 470:
21.9 Pfadweise Konvergenz von Verzw
Seite 471 und 472:
21.10 Quadratische Variation und lo
Seite 473 und 474:
Seite 475 und 476:
Seite 477 und 478:
Seite 479 und 480:
Seite 481 und 482:
Seite 483 und 484:
22 Gesetz vom iterierten Logarithmu
Seite 485 und 486:
22.1 Iterierter Logarithmus für di
Seite 487 und 488:
22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 489 und 490:
Für n ∈ N und σ ∈{−, +} n s
Seite 491 und 492:
22.2 Skorohod’scher Einbettungssa
Seite 493 und 494:
M ′ n := sup |Bs − Btn−1 s∈
Seite 495 und 496:
490 23 Große Abweichungen 23.1 Sat
Seite 497 und 498:
492 23 Große Abweichungen Beweis.
Seite 499 und 500:
494 23 Große Abweichungen Λ ∗ (
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496 23 Große Abweichungen Beweis.
Seite 503 und 504:
498 23 Große Abweichungen Übung 2
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500 23 Große Abweichungen Seien nu
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502 23 Große Abweichungen Analog i
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504 23 Große Abweichungen Untere S
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506 23 Große Abweichungen 0.01 0.0
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508 23 Große Abweichungen Im Fall
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510 24 Der Poisson’sche Punktproz
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25 Das Itô-Integral Das Itô-Integ
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25.1 Das Itô-Integral bezüglich d
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Seite 537 und 538:
Seite 539 und 540:
25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
Seite 541 und 542:
25.2 Itô-Integral bezüglich Diffu
Seite 543 und 544:
25.3 Die Itô-Formel 539 F (x) =x 2
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25.3 Die Itô-Formel 541 Da ε>0 be
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ft := lim n→∞ n� � 〈M〉t
Seite 549 und 550:
25.3 Die Itô-Formel 545 Korollar 2
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25.4 Dirichlet-Problem und Brown’
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25.5 Rekurrenz und Transienz der Br
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26 Stochastische Differentialgleich
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26.1 Starke Lösungen 553 Die Exist
Seite 559 und 560:
Die linke Seite in (26.6) ist aber
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und � t Jt := 0 � N b(s, Xs )
Seite 563 und 564:
1.5 1 0.5 0 26.1 Starke Lösungen 5
Seite 565 und 566:
26.2 Schwache Lösungen und Marting
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26.2 Schwache Lösungen und Marting
Seite 569 und 570:
Im Folgenden gelte stets: 26.2 Schw
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26.3 Eindeutigkeit schwacher Lösun
Seite 573 und 574:
Seite 575 und 576:
3 2 1 0 26.3 Eindeutigkeit schwache
Seite 577 und 578:
Seite 579 und 580:
Literatur 1. M. Aizenman, H. Kesten
Seite 581 und 582:
Literatur 577 37. R. M. Dudley. Rea
Seite 583 und 584:
Literatur 579 80. Jürgen Jost. Par
Seite 585 und 586:
Literatur 581 123. Jim Pitman und M
Seite 587 und 588:
Notation A Indikatorfunktion der Me
Seite 589 und 590:
μ ⊥ ν μist singulär bezüglic
Seite 591 und 592:
Glossar englischer Ausdrücke a.a.
Seite 593 und 594:
Namensregister Banach, Stefan, 1892
Seite 595 und 596:
Prohorov, Yurij Vasil’evich (Proh
Seite 597 und 598:
594 Sachregister Cesàro-Limes 62 C
Seite 599 und 600:
596 Sachregister -Itô-Formel - - m
Seite 601 und 602:
598 Sachregister Moran-Modell 343 d
Seite 603 und 604:
600 Sachregister - terminale 61, 22
Seite 605:
602 Sachregister Wählermodell 216
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