Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

18.3 Markovketten Monte Carlo Methode 377
Sei q die Übergangsmatrix einer beliebigen irreduziblen Markovkette auf E (mit
q(x, y) =0für möglichst viele y ∈ E). Wir erstellen hieraus die Metropolis-Matrix
(siehe [69, 112]).
Definition 18.19. Wir definieren eine stochastische Matrix p auf E durch
⎧ �
⎪⎨ q(x, y)min 1,
p(x, y) =
⎪⎩
π(y)q(y,x)
�
π(x)q(x,y) , falls x �= y, q(x, y) > 0,
0, falls x �= y, q(x, y) =0,
1 − �
z�=x p(x, z), falls x = y.
p heißt Metropolis-Matrix zu q und π.
Man sieht direkt, dass p reversibel ist, dass also für alle x, y ∈ E gilt
π(x) p(x, y) =π(y) p(y, x). (18.12)
Speziell ist π invariant (Nachrechnen!). Wir erhalten sofort den folgenden Satz.
Satz 18.20. Ist q irreduzibel, so ist die Metropolis-Matrix p zu q und π irreduzibel
mit eindeutiger Gleichgewichtsverteilung π. Ist zudem q aperiodisch, oder π nicht
die Gleichverteilung auf E,soistp aperiodisch.
Zur Simulation einer Kette X, die gegen π konvergiert, können wir nun, ausgehend
von einer Referenzkette, die Übergänge nach q macht, den Metropolis-
Algorithmus verwenden: Schlägt die Kette mit Übergangsmatrix q einen Übergang
vom aktuellen Zustand x nach y vor, so akzeptieren wir diesen Vorschlag mit Wahrscheinlichkeit
π(y)q(y, x)
∧ 1.
π(x)q(x, y)
Ansonsten bleiben wir in x stehen.
In der Definition von p taucht π nur in der Form des Quotienten π(y)/π(x) auf. In
vielen Fällen von Interesse ist dieser Quotient relativ leicht berechenbar, auch wenn
π(x) und π(y) selber nicht leicht zu bestimmen sind. Wir wollen dies an einem
Beispiel erläutern.
Beispiel 18.21 (Ising Modell). Das Ising Modell ist ein thermodynamisches (und
quantenmechanisches) Modell für Ferromagnetismus in Kristallen, das von folgenden
Annahmen ausgeht:
– Atome sitzen auf den Punkten des Gitters Λ (zum Beispiel Λ = {0,...,N−1} 2 ),
– jedes Atom i ∈ Λ hat ein magnetisches Moment (Spin): x(i) ∈{−1, 1}, das
entweder nach oben zeigt (x(i) =+1) oder nach unten (x(i) =−1),
– benachbarte Atome wechselwirken miteinander,