Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

106 5 Momente und Gesetze der Großen Zahl
Beispiel 5.15 (Weierstraß’scher Approximationssatz). Sei f :[0, 1] → R eine
stetige Abbildung. Nach dem Weierstraß’schen Approximationssatz existieren Polynome
fn vom Grad höchstens n, sodass
�fn − f�∞
n→∞
−→ 0,
wobei �f�∞ := sup{|f(x)| : x ∈ [0, 1]} die Supremumsnorm von f ∈ C([0, 1])
bezeichnet.
Wir führen hier einen probabilistischen Beweis dieser Aussage vor. Für n ∈ N sei
das Polynom fn definiert durch
n�
� �
n
fn(x) := f(k/n) x
k
k (1 − x) n−k
für x ∈ [0, 1].
k=0
Dieses Polynom heißt Bernstein-Polynom der Ordnung n.
Sei ε>0 fest gewählt. Da f auf [0, 1] stetig ist, ist f sogar gleichmäßig stetig. Es
existiert also ein δ>0, sodass
|f(x) − f(y)|