Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

418 20 Ergodentheorie
Beispiel 20.12. Seien (Xn)n∈N0 u.i.v. und Xn(ω) =X0(τ n (ω)). IstA ∈I,soist
für n ∈ N
A = τ −n (A) ={ω : τ n (ω) ∈ A} ∈σ(Xn,Xn+1,...).
Also ist (mit T die terminale σ-Algebra von (Xn)n∈N, siehe Definition 2.34)
I⊂T =
∞�
σ(Xn,Xn+1,...).
n=1
Nach dem Kolmogorov’schen 0 − 1 Gesetz (Satz 2.37) ist T P-trivial, also ist auch
I P-trivial und damit (Xn)n∈N0 ergodisch. ✸
Übung 20.1.1. Sei G eine endliche Gruppe von maßtreuen messbaren Abbildungen
auf (Ω,A, P) und A0 := {A ∈A: g(A) =A für alle g ∈ G}.
Man zeige: Für jedes X ∈L 1 (P) gilt
20.2 Ergodensätze
E[X |A0] = 1
#G
�
X ◦ g. ♣
In diesem Abschnitt ist stets (Ω,A, P,τ) ein maßerhaltendes dynamisches System.
Ferner sei f : Ω → R messbar und
g∈G
Xn(ω) =f ◦ τ n (ω) für jedes n ∈ N0.
Also ist X =(Xn)n∈N0 ein stationärer, reeller stochastischer Prozess. Sei
�
n−1
Sn = Xk
k=0
die n-te Partialsumme. Die Ergodensätze beschäftigen sich mit Gesetzen der großen
Zahl für die (Sn). Als Vorbereitung bringen wir ein Lemma.
Lemma 20.13 (Hopf’sches Maximal-Ergodenlemma). Sei X0 ∈ L1 Mn =max{0,S1,...,Sn}, n∈ N. Dann gilt
(P). Setze
E � X0
�
{Mn>0} ≥ 0 für jedes n ∈ N.
Beweis. Für k ≤ n ist Mn(τ(ω)) ≥ Sk(τ(ω)). Alsoist
X0 + Mn ◦ τ ≥ X0 + Sk ◦ τ = Sk+1.