Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

9 Martingale
Einer der wichtigsten Begriffe der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie ist das
Martingal, das die Idee eines fairen Spiels (Xn)n∈N0 formalisiert. In diesem Kapitel
wird der Begriffsapparat für die Beschreibung allgemeiner stochastischer Prozesse
aufgebaut. Danach werden Martingale und das diskrete stochastische Integral
eingeführt und auf ein Modell der Finanzmathematik angewandt.
9.1 Prozesse, Filtrationen, Stoppzeiten
Wir führen die grundlegenden technischen Begriffe für die Behandlung stochastischer
Prozesse, darunter Martingale, ein. Um die Begriffe später in einem anderen
Kontext weiter verwenden zu können, streben wir eine größere Allgemeinheit an als
für die Behandlung von Martingalen notwendig wäre.
Im Folgenden sei stets (E,τ) ein polnischer Raum mit Borel’scher σ-Algebra E.
Weiter sei (Ω,F, P) ein W-Raum und I ⊂ R beliebig. Meistens interessieren uns
die Fälle I = N0, I = Z, I =[0, ∞) und I ein Intervall.
Definition 9.1 (Stochastischer Prozess). Sei I ⊂ R. Eine Familie von Zufallsvariablen
X =(Xt, t∈ I) (auf (Ω,F, P)) mit Werten in (E,E) heißt stochastischer
Prozess mit Zeitbereich I und Zustandsraum E.
Bemerkung 9.2. Etwas allgemeiner werden manchmal auch beliebig indizierte Familien
von Zufallsvariablen stochastischer Prozess genannt. Beispielsweise ist dies
beim Poisson’schen Punktprozess aus Kapitel 24 der Fall. ✸
Bemerkung 9.3. Oftmals werden wir (gewissen Traditionen folgend) einen stochastischen
Prozess auch als X =(Xt)t∈I schreiben, wenn wir weniger den Aspekt
betonen wollen, dass X eine Familie von Zufallsvariablen ist, sondern den zeitlichen
Verlauf der Beobachtungen stärker gewichten. Formal sollen beide Objekte
identisch sein. ✸
Beispiel 9.4. Sei I = N0 und (Yn, n∈ N) eine Familie von u.i.v. Zufallsvariablen
auf einem W-Raum (Ω,F, P), mit P[Yn =1]=1− P[Yn = −1] = 1
2 . Setze