Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

392 19 Markovketten und elektrische Netzwerke
Übung 19.1.1. Sei p die substochastische E × E Matrix, die durch p(x, y) =
˜p(x, y), x, y ∈ E, (mit ˜p aus (19.2)) definiert wird, also p(x, y) =p(x, y) x∈E\A,
und sei I die Einheitsmatrix auf E. Man zeige:
(i) I − p ist invertierbar.
(ii) Setzen wir G := (I − p) −1 ,soistG(x, y) = ˜ G(x, y) für alle x, y ∈ E \ A und
G(x, y) = {x=y}, falls x ∈ A. Speziell ist
G(x, y) =Px[XτA = y] für x ∈ E \ A und y ∈ A. ♣
19.2 Reversible Markovketten
Definition 19.8. Die Markovkette X heißt reversibel bezüglich des Maßes π, falls
π({x}) p(x, y) =π({y}) p(y, x) für alle x, y ∈ E. (19.5)
Die Gleichung (19.5) heißt auch die Gleichung der detaillierten Balance (detailed
balance).
X heißt reversibel, falls es ein π gibt, bezüglich dessen X reversibel ist.
Bemerkung 19.9. Ist X reversibel bezüglich π, dannistπ ein invariantes Maß für
X,denn
πp({x}) = �
π({y}) p(y, x) = �
π({x}) p(x, y) =π({x}).
y∈E
Nach Bemerkung 17.50 ist π daher bis auf konstante Vielfache eindeutig. ✸
Beispiel 19.10. Sei (E,K) ein Graph mit Eckenmenge (oder Menge der Knoten) E
und Kantenmenge K (siehe Seite 64). Mit 〈x, y〉 = 〈y, x〉 ∈K bezeichnen wir eine
(ungerichtete) Kante, die x und y verbindet. Sei C := (C(x, y), x,y∈ E) eine
Familie von Gewichten mit C(x, y) =C(y, x) ≥ 0 für alle x, y ∈ E und
C(x) := �
C(x, y) < ∞ für jedes x ∈ E.
y∈E
Setzen wir p(x, y) := C(x,y)
C(x) für alle x, y ∈ E, soistX reversibel bezüglich
π({x}) =C(x). Es gilt nämlich
π({x}) p(x, y) =C(x)
C(x, y)
C(x)
= C(y, x) =C(y)
y∈E
= C(x, y)
C(y, x)
C(y)
= π({y}) p(y, x). ✸