Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

552 26 Stochastische Differentialgleichungen
� t
� t
Xt = ξ + σ(s, Xs) dWs + b(s, Xs) ds P − f.s. für alle t ≥ 0. (26.2)
0
0
Koordinatenweise ausgeschrieben heißt dies
X i t = ξ i m�
� t
+ σij(s, Xs) dW
j=1 0
j � t
s +
0
bi(s, Xs) ds für alle i =1,...,n.
Nun ergibt sich folgendes Problem: An welche Filtration F soll X adaptiert sein?
Soll F die Filtration sein, die von ξ und W erzeugt ist, oder darf F eine größere Filtration
sein? Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist bekannt,
dass es, je nach Differentialgleichung, Lösungen geben kann, die aber nicht eindeutig
sind (beispielsweise für f ′ = |f| 1/3 ). Wenn F größer als die von W erzeugte
Filtration ist, können wir weitere Zufallsvariablen definieren, die unter mehreren
Lösungen eine aussuchen. Wir haben also mehr Möglichkeiten, eine Lösung anzugeben
als wenn F = σ(W ) ist. In der Tat wird sich herausstellen, dass man in
manchen Fällen überhaupt erst eine Lösung einer SDGL angeben kann, wenn man
eine größere Filtration zulässt. Grob gesprochen nennen wir X eine starke Lösung
von (26.1), wenn (26.2) gilt und X an F = σ(W ) adaptiert ist, hingegen eine schwache
Lösung, wenn X an eine größere Filtration F adaptiert ist, bezüglich der W aber
immer noch ein Martingal ist. Schwache Lösungen behandeln wir in Abschnitt 26.2.
Definition 26.1 (Starke Lösung). Wir sagen, dass die stochastische Differentialgleichung
(SDGL) (26.1) eine starke Lösung X hat, falls es eine Abbildung
F : R n × C([0, ∞); R m ) → C([0, ∞); R n ) gibt mit den Eigenschaften
(i) (x, w) ↦→ F (x, w) ist für jedes t ≥ 0 messbar bezüglich B(Rn ) ⊗Gm t –
Gn t , wobei (für k = m oder k = n) Gk t := σ(πs : s ∈ [0,t]) die von
den Koordinatenabbildungen πs : C([0, ∞); Rk ) → R, w ↦→ w(s) erzeugte
σ-Algebra ist.
(ii) Der Prozess X = F (ξ,W) erfüllt (26.2).
Bedingung (i) besagt, dass der Pfad (Xs) s∈[0,t] nur von ξ und (Ws) s∈[0,t] abhängt
und sonst von keinen Informationen. Insbesondere ist X an Ft = σ(ξ, Ws : s ∈
[0,t]) adaptiert und progressiv messbar, sodass das Itô-Integral in (26.2) wohldefiniert
ist, falls σ und b nicht zu stark wachsen für große x.
Bemerkung 26.2. Offenbar ist eine starke Lösung einer SDGL stets eine verallgemeinerte
n-dimensionale Diffusion. Sind die Koeffizienten σ und b unabhängig von
t,soistdieLösung eine n-dimensionale Diffusion. ✸
Bemerkung 26.3. Sei X eine starke Lösung und F wie in Definition 26.1. ist W ′
eine m-dimensionale Brown’sche Bewegung auf einem Raum (Ω ′ , F ′ , P ′ ) mit Filtration
F ′ , und ist ξ ′ unabhängig von W ′ und F ′ 0-messbar, so erfüllt X ′ = F (ξ ′ ,W ′ )
die Integralgleichung (26.2), ist also eine starke Lösung von (26.1) mit W ′ statt W .