Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

130 6 Konvergenzsätze
Übung 6.1.1. Man zeige: Ist Ω höchstens abzählbar, so folgt aus stochastischer
Konvergenz schon F.ü.-Konvergenz. ♣
Übung 6.1.2. Man gebe jeweils ein Beispiel an für eine Folge, die
(i) in L1 konvergiert, aber nicht fast überall,
(ii) fast überall konvergiert, aber nicht in L1 . ♣
Übung 6.1.3. (Satz von Egorov (1911)) Sei (Ω,A,μ) ein endlicher Maßraum,
und seien f1,f2,...messbare Funktionen, die fast überall gegen ein f konvergieren.
Man zeige: Zu jedem ε>0 gibt es eine Menge A ∈Amit μ(Ω \ A) �g}
Ist μ(Ω) < ∞, so ist die gleichgradige Integrierbarkeit äquivalent zu jeder der
beiden folgenden Bedingungen
(i) inf
a∈[0,∞) sup
�
(|f|−a)
f∈F
+ dμ =0,
(ii) inf
a∈[0,∞) sup
�
|f| dμ =0.
f∈F
{|f|>a}