Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

30 1 Grundlagen der Maßtheorie
Beweis. (ii) Da μ auf σ(A) mit dem äußeren Maß μ ∗ übereinstimmt und μ(A)
endlich ist, gibt es nach Definition von μ ∗ (siehe Lemma 1.47) eine Überdeckung
B1,B2,...∈Avon A mit
Sei n ∈ N mit ∞�
i=n+1
Mengen C, D, E gilt
μ(A) ≥
μ(Bi) < ε
2
∞�
μ(Bi) − ε/2.
i=1
(dies existiert, weil μ(A) < ∞). Für je drei
C △D =(D \C)∪(C \D) ⊂ (D \C)∪(C \(D ∪E))∪E ⊂ (C △(D ∪E))∪E.
Mit C = A, D = �n i=1 Bi und E = �∞ i=n+1 Bi erhalten wir
�
n�
� �
∞�
� �
∞�
�
μ A △ ≤ μ A △ + μ
Schreibe nun
i=1
i=1
Bi
≤ μ
� ∞�
i=1
Bi
i=2 j=1
i=1
Bi
i=n+1
Bi
�
− μ(A)+ ε
≤ ε.
2
n�
n� i−1 �
Bi = B1 ⊎ (Bi \ Bj) =:
für ein gewisses k ∈ N und gewisse A1,...,Ak ∈A(Semiring-Eigenschaft).
(i) Sei A ∈ σ(A) und En ↑ Ω, En ∈ σ(A) mit μ(En) < ∞ für jedes n ∈ N.
Wähle zu n ∈ N eine Überdeckung (Bn,m)m∈N von A ∩ En mit
∞�
μ(A ∩ En) ≥ μ(Bn,m) − 2 −n ε.
m=1
(Dies ist möglich nach Definition des äußeren Maßes μ∗ , das auf A mit μ übereinstimmt.)
Schreibe ∞�
Bn,m = ∞�
An für gewisse An ∈ A, n ∈ N
m,n=1
(Übung 1.1.1). Dann ist
�
∞�
� �
∞�
μ An \ A = μ
n=1
≤ μ
≤
∞�
n=1
n=1 m=1
� ∞�
∞�
n=1 m=1
∞�
��
∞�
n=1
m=1
Bn,m \ A
�
k�
i=1
Ai
� Bn,m \ (A ∩ En) ��
μ(Bn,m)
�
�
− μ(A ∩ En) ≤ ε.