Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie

228 12 Rückwärtsmartingale und Austauschbarkeit
#
lim sup
n→∞
� ϱ ∈ S(n) : ϱ−1 (i) ≤ l für ein i ∈{1,...,k} �
=0
n!
für jedes l ∈ N.
Der Wert von An(ϕ) hängt für große n also in zu vernachlässigender Weise von den
ersten l Koordinaten ab. Zusammen mit (12.8) folgt (12.7). ✷
Korollar 12.18. Sei X =(Xn)n∈N austauschbar. Dann gibt es für jedes A ∈Eein
B ∈T mit P[A △ B] =0.
Man beachte, dass T ⊂ E ist, dass also die Aussage trivialerweise gilt, wenn wir
die Rollen von E und T vertauschen.
Beweis. Wegen E ⊂ σ(X1,X2,...) existiert nach dem Approximationssatz für
Maße eine Folge von messbaren Mengen (Ak)k∈N mit Ak ∈ σ(X1,...,Xk) und
P[A △ Ak] k→∞
−→ 0. SeiCk∈ Ek messbar mit Ak = {(X1,...,Xk) ∈ Ck} für
jedes k ∈ N. Mitϕk := Ck folgt aus Satz 12.17
�
A = E[ A |E]=E lim
k→∞ ϕk(X)
� �
�
�E = lim
k→∞ E[ϕk(X)|E]
= lim
k→∞ E[ϕk(X)|T ]=:ψ fast sicher.
Es gibt also eine T -messbare Funktion ψ mit ψ = A fast sicher. Wir können nun
annehmen, dass ψ = B für ein B ∈T. ✷
Als weitere Anwendung erhalten wir das 0-1 Gesetz von Hewitt und Savage [71].
Korollar 12.19 (0-1 Gesetz von Hewitt-Savage). Seien X1,X2,... u.i.v. Zufallsvariablen.
Dann ist die austauschbare σ-Algebra P-trivial, also P[A] ∈{0, 1} für
jedes A ∈E.
Beweis. Nach dem Kolmogorov’schen 0-1 Gesetz (Satz 2.37) ist T trivial. Die Aussage
folgt also ohne weiteres aus Korollar 12.18. ✷
12.3 Satz von de Finetti
Wir zeigen in diesem Abschnitt den Struktursatz für (abzählbar) unendliche, austauschbare
Familien, den wir heuristisch schon am Ende von Abschnitt 12.1 motiviert
hatten. Es soll also gezeigt werden, dass eine unendliche, austauschbare Familie
von Zufallsvariablen eine unabhängige, identisch verteilte Familie ist gegeben
die austauschbare σ-Algebra E. Ferner berechnen wir die bedingte Verteilung der
einzelnen Zufallsvariablen. Als ersten Schritt geben wir eine Definition der bedingten
Unabhängigkeit an.